Гиперболическая регрессия. Полиномиальная и кусочно-полиномиальная регрессия

Для определения криволинейной функции регрессии по расположению точек на диаграмме рассеяния делают заключение о примерном виде этой функции, при этом необходимо учитывать особенности конкретной экономической задачи, в рамках которой анализируется взаимосвязь признаков.

Гиперболическая регрессия имеет вид

у = b + а / х. (21)

Выполнив замену 1/ х = z, получаем линейную регрессию у = b + а z, параметры которой на компьютере можно вычислить с помощью функции ЛИНЕЙН.

Полиномиальная регрессия имеет вид

у =a₀+a₁ х +a₂ х ² +…+a_m х ^m. (22)

Если для разных интервалов значений фактора х применяется полиномиальная регрессия с разными степенями m, то имеет место кусочно-полиномиальная регрессия. Неизвестные параметры уравнения криволинейной регрессии также находятся методом наименьших квадратов.

Например, глядя на рис.1 (см. пример 2), можно предположить, что имеет место параболическая регрессия второго порядка, т.е. следует искать уравнение регрессии вида

у_х = a₀+a₁ х +a₂ х ²,

где a₀, a₁, a₂ – неизвестные коэффициенты.

Пользуясь методом наименьших квадратов, получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров:

х ⁴a₂+ х ³a₁+ х ²a₀= ух ²,

х ³a₂+ х ²a₁+ х a₀ = ух, (23)

х ²a₂+ х a₁+a₀= у.

Пример 5. По данным корреляционной таблицы 2 построить параболическую функцию регрессии.

Подставляя данные в (23), получаем систему:

286000a₂+11160a₁+460a₀=8100,

11160a₂+460a₁+20.4a₀=354,

460a₂+20.4a₁+a₀=17.4.

Решив эту систему, найдем a₂=0.055, a₁= – 2.26, a₀=38.2.

Искомое параболическое уравнение регрессии принимает вид:

у_х =0.055 х ² – 2.26 х +38.2 (Пунктирная линия на рис. 1).

Легко убедиться, что условные средние, вычисленные по данному уравнению, незначительно отличаются от условных средних корреляционной таблицы.

у ₁₀ =0.055×10² – 2.26×10+38.2=21.1,

у ₂₀ =0.055×20² – 2.26×20+38.2=15,

у ₃₀ =0.055×30² – 2.26×30+38.2=19.9.

Найденное уравнение хорошо согласуется с данными наблюдений.