Частная корреляция. Ранее, в п. 2.5 (тема 2), для оценки тесноты линейной связи между переменными был введен коэффициент корреляции

Ранее, в п. 2.5 (тема 2), для оценки тесноты линейной связи между переменными был введен коэффициент корреляции. Однако коэффициенты парной корреляции характеризуют тесноту связи переменных, не принимая во внимание возможного влияния на них других переменных. Поэтому во множественной регрессии возникает задача определения тесноты связи между двумя переменными в «чистом» виде, т.е. при устранении влияния на них одной или нескольких переменных. Таким показателем является частный коэффициент корреляции.

Обозначим для удобства X ₀ = Y. Выборочным частным коэффициентом корреляции (или просто частным коэффициентом корреляции) между переменными X_i и X_j (i, j = 0, 1, …, m) при фиксированных значениях остальных (m – 1) переменных модели называется величина

, (3.26)

где R_ij – алгебраическое дополнение элемента корреляционной матрицы

.

В частности, в случае трех переменных (m = 2) из (3.26) следует, что

. (3.27)

Пример 3.5. Исследуется зависимость между следующими показателями работы предприятия легкой промышленности:

X ₀º Y – среднемесячная характеристика качества ткани (в баллах);

X ₁ – среднемесячное количество профилактических наладок автоматической линии;

X ₂ – среднемесячное число обрывов нити.

По итогам годовой работы 35 однородных предприятий были подсчитаны выборочные парные коэффициенты корреляции r_ij (i, j = 0, 1, 2): r ₀₁ = 0,105;

r ₀₂ = 0,024; r ₁₂ = 0,996.

Проверка на статистическую значимость, проведенная в соответствии с рекомендациями п. 2.5, свидетельствует об отсутствии статистически значимой парной корреляционной связи между качеством ткани, с одной стороны, и числом профилактических наладок и обрывов нити – с другой, что не согласуется с профессиональными представлениями технолога.

Однако расчет частных коэффициентов корреляции по формуле (3.27) дает другие величины:

.

Полученные значения «чистых» коэффициентов корреляции уже вполне соответствуют нашим представлениям о естественном характере связей между изучаемыми показателями. g

Контрольные вопросы

1. Как определяется модель множественной линейной регрессии?

2. Что характеризуют коэффициенты регрессии?

3. В чем суть МНК для построения множественного линейного уравнения регрессии?

4. Опишите алгоритм оценки коэффициентов множественной линейной регрессии по МНК в матричной форме.

5. Перечислите предпосылки множественного регрессионного анализа.

6. Сформулируйте теорему Гаусса-Маркова для множественной регрессии.

7. Что представляет собой и как определяется выборочная остаточная дисперсия?

8. Приведите формулы расчета оценок дисперсий и стандартных ошибок коэффициентов регрессии.

9. Как строятся интервальные оценки коэффициентов регрессии и в чем их суть?

10. Как строятся интервальные оценки для уравнения регрессии и индивидуальных значений зависимой переменной?

11. В чем суть прогнозирования: а) среднего значения; б) индивидуального значения зависимой переменной?

12. Как определяется статистическая значимость коэффициентов регрессии?

13. Как определяется множественный коэффициент детерминации и в чем его суть?

14. Чем «исправленный» коэффициент детерминации отличается от обычного?

15. Как осуществляется анализ статистической значимости уравнения регрессии?

16. В чем заключается отличие частного коэффициента корреляции от парного?

17. Можно ли вычислить частные коэффициенты корреляции, зная парные? Если да, то приведите соответствующие формулы.