Проверка гипотезы о существовании тренда

Решение любой задачи по анализу временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя. При этом однако на графике не всегда четко прослеживается присутствие тренда во временном ряду. В таких случаях, прежде чем переходить к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Основные подходы к решению этой задаче основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности временного ряда, т.е. по существу на статистической проверке гипотезы

Н₀: M y_t = a = const. (7.3)

Рассмотрим критерий серий, основанный на медиане, часто используемый на практике для проверки наличия/отсутствия тренда. Применение этого критерия может быть представлено в виде следующих шагов.

1. Из исходного ряда с уровнями y ₁, y ₂, …, y_n образуется ранжированный (упорядоченный по возрастанию) ряд , где y ₍₁₎ и y _{( n )} – наименьшее и наибольшее значения соответственно из уровней исходного ряда y ₁, y ₂, …, y_n.

2. Определяется медиана Me построенного ранжированного ряда. В случае нечетного значения длины ряда n (n = 2 m + 1) медиана Me = y _{( m + 1)}, в противном случае (n = 2 m) медиана Me = (y _{( m )} + y _{( m + 1)} )/2.

3. Образуется последовательность d_i из плюсов и минусов по следующему правилу:

(7.4)

Если значение уровня исходного ряда y_t равно медиане Me, то это значение пропускается. Очевидно, общее число знаков «+» и «–» заранее неизвестно. Индекс i может принимать значения 1, 2, …, k, где k £ n.

4. Подсчитывается величина n (n) – число серий в совокупности d_i, где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже считается серией.

Определяется t _max (n) – протяженность самой длинной серии.

5. Проверка гипотезы Н₀ основывается на том факте, что при условии случайности временного ряда (при отсутствии тренда) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий – слишком маленьким. Поэтому для того чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ременного ряда (об отсутствии тренда), должны выполняться следующие неравенства:

(7.5)

где n – длина временного ряда;

n (n) – число серий;

t _max (n) – протяженность самой длинной серии;

[ x ] – целая часть числа x, т.е. целое число, ближайшее к x и не

превосходящее его по модулю.

Если хотя бы одно из неравенств (7.5) нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда временного ряда отвергается с вероятностью ошибки a, заключенной между 0,05 и 0,0975 и, следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей.

Пример 7.1. В следующей таблице приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар (в усл. ед.) за восьмилетний период:

Таблица 7.1

Год, t
Спрос, yt

Изобразить графически временной ряд и проверить гипотезу о наличии тренда.

Решение. На рис.7.1 рассматриваемый временной ряд изображен графически в виде ломаной кривой. Из этого рисунка явная тенденция временного ряда не просматривается.

Рис.7.1. Временной ряд

Проверим нулевую гипотезу (7.3) об отсутствии тренда с помощью критерия серий, воспользовавшись описанной выше методикой.

1. Ранжировка уровней временного ряда представлена в табл.7.2:

Таблица 7.2

t
y (t)

2. Поскольку длина временного ряда n = 8 четная, то m = n /2 = 4, и медиана временного ряда Me = (y ₍₄₎ + y ₍₅₎ )/2 = (309 + 317)/2 = 313.

3. Процесс формирования серий, в соответствии с (7.4), показан в следующей таблице:

Таблица 7.3

i
di	–	–	–	–	+	+	+	+

4. Анализ полученной последовательности знаков позволяет установить, что число серий n (8) = 2, и протяженность самой длинной серии t _max (8) = 4.

5. Для проверки выполнения неравенств (7.5) определяем значения правых частей неравенств:

.

Тогда проверка выполнения условий (7.5) показывает, что первое неравенство выполняется, а второе – не выполняется. Следовательно, нулевая гипотеза (7.3) отвергается и делается вывод, что динамика временного ряда характеризуется наличием систематической составляющей – в изменении спроса присутствует тенденция.

Так как вероятность ошибочного вывода 0,05 £ a £ 0,0975, то надежность g = 1 – a данного вывода заключена между 0,9025 и 0,95. g