Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Энштейна

Обозначим gk — число возможных состояний частицы с энергией Wk. Например, если частица электрон в атоме водорода, то число таких состояний 2n², где n — главное квантовое число. Пусть далее nk — число частиц с энергией Wk. Если эти частицы фермионы, то в соответствии с принципом Паули данное состояние может быть либо свободным (nk=0), либо занятым (nk=1), т.е. nk принимает лишь два значения — 0 или 1. Для бозонов в данном состоянии может быть сколько угодно частиц, т.е. nk может принимать любые целые значения 0, 1, 2,....

Основная задача квантовой статистики — найти функцию распределения частиц по энергии, т.е. такую функцию fk, которая будучи умноженной на число возможных состояний с энергией Wk, давала бы среднее число частиц, обладающих данной энергией Wk:

(32.1)

Функция распределения fk характеризует вероятность того, что данное энергетическое состояние занято.

Для фермионов эта функция имеет вид (см. прил. 8)

(32.2)

и называется функцией распределения Ферми-Дирака.

Энергия WF называется энергией Ферми. Чтобы выяснить физический смысл энергии Ферми, рассмотрим поведение функции (32.2) вблизи абсолютного нуля, т.е. при . Если Wn<WF, то при , и, следовательно, fn=1. Если же Wn>WF, то при , и, следовательно, fn=0. Таким образом, при абсолютном нуле энергия Ферми имеет смысл предельной энергии: все состояния с энергией Wn<WF заняты, а с энергией Wn>WF вакантны.

Рис. 32.1

График функции распределения Ферми-Дирака при T=0 показан на рис. 32.1 сплошной линией. По мере возрастания температуры график функции распределения становится более пологим (пунктирная кривая); состояния с энергией порядка (kT), меньшей WF, начинают частично освобождаться, а состояния с энергией порядка kT, но большей WF, начинают частично «заселяться». Можно показать, что вероятность заполнения состояния с энергией Ферми при T ≠ 0 равна 0,5.

Для систем, состоящих из переменного числа бозонов (фотонов, фононов — см. § 33.2) функция распределения имеет вид (см. прил. 8)