2015-05-18
1312
Механическому цеху требуется из куска листового металла выкроить развертку для изготовления короба. Короб можно изготовить так: сделать по углам квадратные вырезы, отогнуть боковины и соединить боковые швы сваркой. Можно ли из имеющихся в цехе стандартных листов размером 1,0 м х 2,0 м изготовить коробы объемом 200 л? Составить математическую модель. Формализовать задачу в MS Excel для других размеров листов при условии максимальной вместимости короба. Поставщики выпускают стальной лист следующего сортамента (м): 1х2, 1х3, 2х2, 2х2,5, 2х3. Построить графики зависимости максимальной вместимости (куб. м) и остатков материала (кв. м) от площади квадратных листов (кв. м).
Решение задачи
1. 
Составим ментальной карту в виде выкройки и эскиза готовой конструкции, представленных на рисунке 2.10.
Рис. 2.10. Раскрой листа для изготовления короба
2. Составим математическую модель в виде формулы для объема короба.
Площадь листа: S=M*L
Объем короба равен произведению площади основания на высоту:
V=(L-2h)*(M-2h)*h
Остатки материала: Q=4h2
Сформируем таблицу в MS Excel (справа показана вставка формул в ячейки столбца D). В ячейку D8 помещаем искомую переменную — высоту короба h. Вписываем в ячейку произвольное число, например, 0,10 м. Целевая функция помещена в ячейку D9 — это объем короба.
3. В параметрах поиска решения устанавливаем требуемое значение целевой функции v=0,2куб.м(200л). В ограничениях указываем, что длина и ширина основания короба должны быть положительными числами. Данная задача нелинейная: Объем короба и площадь остатков нелинейно зависят от высоты короба.
В результате поиска программа выдает отрицательный результат:
Программа нашла, что при высоте короба 21 см его вместимость будет составлять только 192,45 л, — из имеющегося материала изготовить короб объемом 200 л невозможно.
Проверим теперь, что этот объем есть максимально возможный. В параметрах поиска решения предложим оптимизировать целевую функцию до максимума. Программа подтвердит, что объем 192,45 л есть максимально возможный.
Для иллюстрации построим зависимость объема короба от его высоты по формуле
V=4h3-2h2(M+L)+M*L*h (рисунок 2.11)
Рис. 2.11. Нелинейная зависимость объема короба от его высоты
4. Проведем требуемый анализ максимальной вместимости короба для других размеров листов со сторонами: 1х3, 2х2, 2х2,5, 2х3. Для этого продолжим таблицу, указывая другие размеры листов. Устанавливаем целевые ячейки в строке 9. Далее вызываем программу «Поиск решения» для каждого варианта и ищем максимальное значение целевой функции. Построим графики максимальной вместимости короба и остатков материала при раскрое в зависимости от площади листа:
5. Выводы:
Максимальная вместимость короба почти линейно возрастает с увеличением площади листа заготовки. При этом около 10% листа уходит в отходы.
