2015-05-18
285
Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:
.
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, 
,
где 
, 
, 
, 
- заданные постоянные величины.
Некоторые частные случаи дифференциальных уравнений второго порядка легко приводятся к уравнениям первого порядка.
1. Левая часть уравнения не содержит 
и 
:
. (20)
В этом случае пользуемся тождеством 
.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение.
,
,
,
- общий интеграл.
Ответ: 
.
2. Левая часть уравнения не содержит :
. (21)
В этом случае пользуемся заменой 
.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. Произведем замену 
, тогда 
и данное уравнение обращается в уравнение первого порядка:
- линейное уравнение.
Воспользовавшись заменой 
, будем иметь:
,
,
,
,
,
,
тогда
,
,
,
.
Произведем обратную замену:
,
.
,
- общий интеграл.
Ответ: 
.
3. Левая часть уравнения не содержит 
:
. (22)
В этом случае полагаем 
, тогда 
.
Пример 7. Решить уравнение 
.
|
|
|
Решение. Сделаем замену , тогда 
.
,
,
,
,
,
.
Сделаем обратную замену:
,
,
.
В силу произвольности констант 
и 
или
- общее решение.
Ответ: .
