С постоянными коэффициентами. Определение. Однородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Определение. Однородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (29)

где , - некоторые постоянные.

Если характеристическое уравнение для уравнения (29) имеет корни , , тогда

1) каждому -кратному действительному корню характеристического уравнения (29) соответствует частных решений вида , ,…, ;

2) каждой паре -кратных комплексно сопряженных корней характеристического уравнения (29) соответствует частных решений вида

, ,…, ,

, ,…, .

Общая сумма кратностей всех корней должна равняться степени характеристического уравнения , поэтому число всех частных решений будет в точности совпадать с порядком уравнения.

Чтобы найти общее решение заданного уравнения, нужно взять линейную комбинацию указанных частных решений.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Корни этого уравнения , .

Тогда общее решение данного уравнения:

.

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение

.

Методом подбора найдем, что один из корней , разделим многочлен на , получим:

или .

Корни этого уравнения , .

Поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения запишется в виде:

.

Ответ: .