(30)
и
, (31)
и пусть каждый член ряда (30) не больше соответствующего члена ряда (31), т.е. начиная с некоторого номера , тогда
1) если сходится ряд (31), то сходится ряд (30);
2) если расходится ряд (30), то расходится и ряд (31).
2. Предельный признак сравнения.
Если , то ряды (30) и (31) ведут себя одинаково, т.е. если расходится ряд (30), то расходится и ряд (31), и наоборот, если сходится ряд (30), то сходится и ряд (31).
Обычно применяют признаки сравнения с известными сходящимися или расходящимися рядами. Так, известно, что обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится, если .
Пример 13. Выяснить, сходится ли ряд .
Решение. Сравним данный ряд с известным сходящимся гармоническим рядом :
, следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся.
Ответ: данный ряд сходится.
3. Признак Даламбера.
Пусть дан ряд
(32)
Если при существует предел модуля отношения последующего члена к предыдущему , равный :
,
то при ряд сходится, при ряд расходится.
При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, и необходимо применить другой признак сходимости ряда.
|
|
Пример 14. Выяснить, сходится ли ряд .
Решение. Здесь , . Поэтому , следовательно, данный ряд сходится.
Ответ: данный ряд сходится.
4. Радикальный признак Коши.
Пусть дан ряд (32).
Если при существует предел корня n-ой степени из модуля общего члена, равный :
,
то при ряд сходится, при ряд расходится.
При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример 15. Выяснить вопрос о сходимости ряда .
Решение. Применим радикальный признак Коши. Здесь . , следовательно, данный ряд сходится.
Ответ: данный ряд сходится.
5. Интегральный признак Коши.
Пусть дан ряд (32), члены которого являются значениями непрерывной функции при целых значениях аргумента , и пусть монотонно убывает в интервале . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.
Пример 16. Рассмотрим ряд . К этому ряду не применим ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши (при применении признака Даламбера или радикального признака Коши получим ). Применим интегральный признак Коши:
Таким образом, мы доказали, что гармонический ряд сходится при и расходится при .