2015-05-18
355
Уравнение вида (27), в котором правая часть не является тождественным нулем называют неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Справедлива теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения (27): Общее решение уравнения с правой частью (27) можно составить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения.
Оказывается, что частное решение уравнения (27), где правая часть
,
имеет вид
,
где 
, 
- многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов 
, 
, а 
- кратность, с которой 
входят в число корней характеристического уравнения. Если не являются корнями характеристического уравнения, то принимаем равным нулю.
Пример 11. Решить уравнение 
.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения было найдено в примере 9 и имеет вид:
.
Так как величина 
(коэффициент при 
в степени второй экспоненты в правой части дифференциального уравнения) совпадает с однократным корнем 
характеристического уравнения, то будем искать частное решение в виде:
.
Вычислим производные функции 
до второго порядка:
.
Подставим полученные производные в исходное уравнение:
Упростим
Тогда 
, 
, 
. Отсюда
, 
, 
.
И частное решение имеет вид:
.
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
.
Ответ: .
