Степенные ряды. Ряды, членами которых являются не числа, а функции независимой переменной называют функциональными рядами

Ряды, членами которых являются не числа, а функции независимой переменной называют функциональными рядами.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд

,

члены которого суть произведение постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности .

Постоянные называют коэффициентами степенного ряда.

В частности, если , то мы будем иметь степенной ряд:

(33)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (33) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, при всяком , лежащем в интервале , т.е. удовлетворяющем условию .

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (33) называется такое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится. Интервал от до называется интервалом сходимости степенного ряда.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно интегрировать и дифференцировать почленно.