Пусть задано дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности точки , в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд, по степеням разности :
Продифференцируем этот ряд с неопределенными пока коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и ее производных соответствующие ряды, получаем тождество, из которого определяем неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда (в числе, равном порядку уравнения) определяются не из тождества, а из начальных условий. Если далее доказать, что полученный ряд сходится, то можно быть уверенным, что он выражает искомое решение.
Особенно удобно с помощью рядов решать линейные дифференциальные уравнения.
Пример 18. Найти решение уравнения при , .
Решение.
Решение будем искать в виде ряда, разложенного по степеням :
Коэффициенты и находим из начальных условий:
, .
Дважды дифференцируем ряд:
Подставляя в дифференциальное уравнение вместо и их разложения, получаем тождество
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим:
, ,…, .
Поэтому
, , , , , ,
и вообще
, .
Значит,
С помощью признака Даламбера легко убедиться, что этот ряд сходится на всей оси и, следовательно, представляет искомое решение при всех .