Методика решения

Выборочное среднее значение , вычисляемое по выборке ограниченного объема n, будет отличаться от идеального «точного» значения , которое можно было бы получить для бесконечно большой выборки. Разница между выборочным средним и генеральным средним называется предельной ошибкой выборки:

.

Поскольку среднее значение генеральной совокупности () обычно неизвестно, а задача заключается именно в его нахождении, существует следующая процедура для расчета предельной ошибки выборки.

Сначала определяется средняя ошибка выборки (μ):

где ‑ дисперсия признака в генеральной совокупности; п ‑ объем выборочной совокупности.

Такая формула применяется для повторной выборки. При повторном отборепопавшая в выборку единица подвергается обследованию, а затем возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Тем самым вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной на всем протяжении отбора.

При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Поэтому вероятность попасть в выборку для оставшихся единиц увеличивается с каждым шагом отбора.

В случае расчета средней ошибки бесповторной выборки применяется скорректированная формула:

,

где N – численность генеральной совокупности. Величина () всегда меньше единицы, поэтому сопоставление приведенных формул свидетельствует о том, что применение бесповторного отбора обеспечивает меньшую ошибку выборки.

Обычно, если объем выборки не превышает 5 % генеральной совокупности, к формуле для бесповторного отбора можно не переходить.

На практике величина дисперсии признака в генеральной совокупности (), как правило, неизвестна, поэтому ее заменяют выборочной дисперсией (). Это возможно, поскольку доказано, что соотношение и определяется равенством

При большой численности выборочной совокупности сомножитель () стремится к единице и им можно пренебречь.

После нахождения средней ошибки выборки (μ) можно переходить к оценке предельной ошибки (Δ), используя следующую формулу:

,

где t – коэффициент доверия, показывающий, во сколько раз необходимо увеличить среднюю ошибку выборки, чтобы с заданным уровнем вероятности утверждать, что разница между выборочной и генеральной средними не превысит предельной ошибки выборки.

Коэффициент доверия t определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной доверительной вероятности.

Приведем наиболее часто употребляемые уровни доверительной вероятности и соответствующие им значения t.

Проявление ошибки большей, чем утроенная средняя ошибка выборки, имеет крайне малую вероятность (1 – 0,997 = 0,003 или 0,3 %) и считается практически невозможным событием. Такой уровень доверительной вероятности применяется для расчетов, требующих особенной точности. В большинстве случаев достаточными являются 90 % и 95 % вероятность.

Зная величину выборочной средней () и предельную ошибку выборки (), можно определить доверительные интервалы, в которых с заданным уровнем вероятности находится значение генеральной средней:

.