Доказательство. Через точки А(а, f(а)) и В(b, f(b)) графика данной функции проведем секущую АВ

Через точки А(а, f(а)) и В(b, f(b)) графика данной функции проведем секущую АВ. Угол, образуемый секущей АВ с осью Ох, обозначим через , тогда

Будем перемещать эту секущую параллельно исходному поло­жению до тех пор, пока она не превратится в касательную к графику функции у = f(х) в некоторой точке С (с, f (с)), где а < с < b. Согласно построению и геометрическому смыслу производной . Из двух полученных равенств следует ра­венство

и равенство (27), которое и требовалось доказать.

Следствие 1. Если производная функции равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождест­венная постоянная в этом промежутке.

Пусть для всех х из данного промежутка. Если х ₀и х -две точки этого промежутка, то по доказанной теореме

Поскольку

то

Следствие 2. Если две функции имеют равные производ­ные в некотором промежутке, то они отличаются в этом проме­жутке лишь постоянным слагаемым.

Действительно, если

В силу следствия 1