Доказательство. Пусть x0 - точка экстремума дифференцируемой функции у =

Пусть x ₀ - точка экстремума дифференцируемой функции у = . Для определенности предположим, что х ₀ - точка максимума, тогда при достаточно малых

поэтому

откуда при переходе к пределу получаем

Поскольку является числом, не зависящим от способа стремления Ах к нулю, два последних соотношения совместимы лишь в том случае, когда

(10)

Аналогично доказывается теорема и для случая, когда х ₀ - точка минимума функции.

Теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику дифференцируемой функции в соответствующей точке парал­лельна оси Ох.