Определение устойчивости по М.Я.Ляпунову

Исследование устойчивости автоматических систем управления. Оценка качества регулирования

Цель работы: Применение критериев устойчивости для исследования систем автоматического регулирования, определение показателей качества регулирования систем.

Теоретическая часть

Понятие устойчивости системы регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Определение устойчивости по М.Я.Ляпунову

Невозмущенное движение (при ) называется устойчивым по отношению к переменным , если при всяком заданном положительном числе , как бы мало оно не было, можно выбрать другое положительное число , так, что для всех возмущений ,, удовлетворяющих условию , возмущенное движение будет для времени удовлетворять неравенству , где – коэффициенты, уравновешивающие размерности величин . Если с течением времени , то система асимптотически устойчива.

Устойчивость систем зависит от корней характеристического уравнения. Решение характеристического уравнения есть сумма экспоненциальных функций .

Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения при различных корнях характеристического уравнения (рисунок 7).

По рисунку 7 можно заметить, что для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, т.е. лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

1) нулевого корня;

2) пары чисто мнимых корней;

3) бесконечного корня.