2015-05-10
1104
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
Цель работы: построить на основе статистических данных линейное уравнение регрессии, оценить качество модели, и если она будет удовлетворительной, то сделать прогноз.
ТЕОРИЯ
Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его параметров: 
.
После того, как найдено уравнение регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
1. О значимости уравнения линейной регрессии в целом можно судить на основании значимости коэффициента корреляции между переменными. Для оценки статистической значимости коэффициента регрессии и корреляции используется 
тест.
Проверяется нулевая гипотеза 
об отсутствии линейной связи между переменными X и Y, т.е. 
. Конкурирующая гипотеза 
– существует линейная связь между переменными. Проверка нулевой гипотезы состоит в сравнении фактического или наблюдаемого 
и критического или табличного 
значений 
критерия Стьюдента. Рассчитывается по формуле:
(1)
Здесь 
– стандартная ошибка коэффициента корреляции, 
– объем выборки. Полученное значение критерия сравнивается с критическим значением 
, определяемым по таблице Стьюдента по заданному уровню значимости 
и по числу степеней свободы 
.
Уровень значимости – вероятность отвергнуть правильную нулевую гипотезу, когда она верна (ошибка первого рода). Вероятность того, что будет принята верная нулевая гипотеза называется уровнем надежности и обозначается 
. Надежность и уровень значимости связаны соотношением: 
.
Если 
, то гипотеза отвергается на уровне значимости 
, т.е. считается, что коэффициент корреляции между переменными отличен от нуля 
и между переменными существует линейная связь. Уравнение регрессии в данном случае тоже считается значимым.
Если 
, то мы не можем сделать вывод ни о наличии, ни об отсутствии связи между наблюдаемыми параметрами 
и 
. Необходимо повторить наблюдение на большем количестве наблюдений (данных) и перепроверить гипотезу .
2. Для оценки статистической значимости найденных МНК параметров уравнения регрессии 
и 
используется 
тест.
Выдвигается нулевая гипотеза о статистической незначимости, то есть случайной природе показателей. Фактические значения 
критериев находят по формулам:
(2)
Здесь 
– стандартные ошибки параметров уравнения регрессии и сравнивают с критическим значением , определяемым по таблице Стьюдента по заданному уровню значимости и по числу степеней свободы 
.
Величину стандартных ошибок можно определить по формулам:
(3)
, (4)
где 
– стандартная ошибка. Если наблюдаемые значения 
критерия 
и 
больше табличного значения , то гипотеза отклоняется, т.е. параметры 
и 
не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора 
. Уравнение регрессии в данном случае тоже считается значимым.
Если 
, то мы не можем сделать вывод ни о наличии, ни об отсутствии связи между наблюдаемыми параметрами. Необходимо повторить наблюдение на большем количестве наблюдений (данных) и перепроверить гипотезу.
3. Оценка статистической значимости уравнения в целом проводится с помощью 
критерия.
Общая сумма квадратов отклонений переменной 
от среднего значения 
раскладывается на два слагаемых: «объясненную» (факторную) и «остаточную» («необъясненную») сумму квадратов:
(5)
Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант.
Для общей сумы квадратов 
необходимо 
независимых отклонений, поскольку в совокупности из n единиц после расчета среднего уровня свободно варьируются лишь число отклонений. Например, ряд значений y: 1, 2, 3, 4, 5. Среднее из них равно 3, и тогда n отклонений от среднего составят -2, -1, 0, 1, 2. Поскольку 
, то свободно варьируют лишь четыре отклонения, а пятое может быть определено, если четыре предыдущих известно.
Факторная сумма квадратов отклонений для парного линейного уравнения регрессии имеет число степеней свободы, равное 1, поскольку при заданном объеме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов зависит только от одной константы – коэффициента регрессии b.
Число степеней свободы остаточной суммы квадратов составляет 
. Таким образом, для степеней свободы имеем равенство:
(6)
Разделив каждую суму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы:
(7)
(8)
(9)
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточные дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину 
критерия:
(10)
Величина критерия связана с коэффициентом детерминации 
. Факторную сумму квадратов отклонений можно представить следующим образом:
, (11)
а остаточную суму квадратов:
(12)
На основе формул (8)-(12) можно записать:
(13)
При проверки статистической значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза 
о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического 
и табличного 
значений критерия Фишера. 
определяется из специальной таблицы с помощью трех чисел: уровня значимости 
и степеней свободы 
и 
.
Нулевая гипотеза отклоняется, если 
и признается статистическая значимость и надежность оцениваемых характеристик. Если 
, то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость уравнения регрессии.
В экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель как коэффициент эластичности, вычисляемый по формуле:
(14)
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результат 
при изменении фактора 
на 1 % от своего номинального значения. Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен:
(15)
и зависит от 
, поэтому рассчитывают средний коэффициент эластичности по формуле:
(16)
Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат 
от своей величины при изменении фактора 
на 1 % от своего значения.
Оценка параметров уравнения регрессии производится на основании конечного числа статистических данных, поэтому сами коэффициенты уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. Более правильно, с этой точки зрения, характеризовать параметр не только числовым значением (рассчитанным, например, по МНК), а доверительным интервалом, который покрывает параметр с некоторой (заданной заранее) вероятностью.
Пусть дана линейная регрессионная модель 
, для параметров которой (A и B) найдены оценки (a и b). Тогда числовые интервалы, покрывающие неизвестные параметры (A и B) с вероятностью определяются формулами:
, (17)
, (18)
где – 
– стандартные ошибки параметров уравнения регрессии, a и b – значения параметров уравнения регрессии, найденные каким-либо способом (например, МНК), 
– коэффициент Стьюдента для данного уровня надежности 
(или данного уровня значимости 
) и 
– число степеней свободы, n – объем выборки, т.е. число имеющихся пар данных.
Под прогнозированием в эконометрике понимается построение оценки зависимой переменной для некоторого набора независимых переменных, которых нет в исходных наблюдениях.
Различают точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка – некоторое число, а во втором – интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем значимости.
Пусть 
значение воздействующего фактора. Тогда предсказанным значением является оценка 
(точечный прогноз), величину которой найдем из уравнения регрессии 
.
Ошибка предсказания равна разности между предсказанным и действительным значениями результативного признака: 
.
Ошибка предсказания оценивается по формуле: 
, здесь 
– стандартная ошибка предсказания, вычисляемая по формуле:
. (19)
(20)
Соответствующий доверительный интервал (интервал прогноза) для прогнозов индивидуальных значений 
будет определяться по формуле:
(21)
Анализ формулы стандартной ошибки предсказания показывает: ширина доверительного интервала является переменной величиной. Она минимальна при 
и чем больше 
отклоняется от выборочного среднего 
, тем больше величина ошибки; чем больше объем выборки 
, тем величина ошибки меньше. Прогноз значений по уравнению регрессии оправдан, если значение объясняющей переменной не выходит за диапазон ее значений по выборке, поэтому экстраполяция кривой регрессии может привести к значительной погрешности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
По территориям региона приводятся данные 199Х г.
| Номер региона | ||||||||||||
| Среднедушевой прожиточный минимум, в день одного трудоспособного, руб., х | ||||||||||||
| Среднедневная заработная плата, руб, у |
1. найти параметры 
и 
линейного уравнения парной регрессии 
;
2. найти коэффициент детерминации;
3. рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи, используя таблицу Чеддока;
4. оценить статистическую значимость параметров уравнения регрессии, используя 
статистику Стьюдента и путем расчета доверительных интервалов каждого из показателей с 95% надежностью;
5. вычислить прогнозное значение 
при прогнозном значении 
, составляющем 110 % от среднего уровня;
6. оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал;
7. полученные результаты изобразить графически и привести экономическое обоснование.
