Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Пусть X—случайная величина и М (X)—ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X–М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения X известен:

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х1 — М (X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x1.

Вероятность же этого события равна р1; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х1–М (X), также равна р1. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X 1 2

р 0,2 0,8

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание X: М (Х) = 1*0,2 + 2*0,8= 1,8.

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений X вычтем математическое ожидание М (X): 1 – 1,8 = – 0,8; 2–1,8 = 0,2.

Напишем закон распределения отклонения:

Найдем математическое ожидание отклонения: М [Х – М (Х)] = (–0,8)*0,2 + 0,2*0,8 = 0.

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.