Пример 2.9

Найти частные производные второго порядка функции
z = x ² y ³ + 2 y.

Решение.

= = = 2 y ³ = 2 y ³,

= = = 2 х = 6 xy ²,

= = =3y ² = 6 xy ²,

= = = 3х ² = 6 x ² y.

2.72. Найти частные производные второго порядка :

1) 2)

3) 4)

2.73. Доказать, что если то

Схема исследования функции z = z (x, y) на экстремум:

1. Найти частные производные , и решить систему уравнений

Решениями системы будут критические точки функции.

2. Найти частные производные 2-го порядка.

3. Для каждой критической точки вычислить определитель

Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/ > 0.

Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.

Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).

4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z (x, y).