2015-05-12
495
Производятся два вида товаров, в количествах х ед. и y ед. Пусть 8 и 10 ден. ед. – цены на эти товары соответственно, а S = x 2 + xy + y 2 – функция затрат. Определить оптимальный выпуск товаров, при котором предприятие получит максимальную прибыль.
Решение.
Функция прибыли имеет вид:
П (х, y) = 8 х + 10 y – x 2 – xy – y 2.
Вычислим частные производные первого порядка:
Пх ΄ = 8 – 2 х – y, Пy ΄ = 10 – х – 2 y.
Найдем критические точки функции как решение системы уравнений
получаем точку (2; 4).
Найдем частные производные второго порядка:
= – 2, 
= 
= – 1, 
= – 2.
Так как 
и = – 2 < 0, то в точке (2;4) функция прибыли имеет максимум: Пmax = П (2; 4) = 28.
Следовательно, для получения максимальной прибыли в 28 денежных единиц необходимо произвести 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида.
2.74. Исследовать функцию на экстремумы:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
2.75. Производственная функция (в ден. ед.) имеет вид 
где х и у – количество ед. соответственно 1-го и 2-го ресурсов. Стоимость ед. первого ресурса – 5, а второго – 10 (ден. ед.). Найти максимальную прибыль при использовании этих ресурсов.
2.76. Как распределить сумму в $10 млн между тремя компаниями так, чтобы их суммарная прибыль была наибольшей, если прибыль каждой определяется соответственно по формуле: 
где 
– инвестируемая сумма?
2.77. Исследовать функцию на экстремумы и найти наименьшее и наибольшее значения в заданной области:
1) 
АВО: А(– 5; 0), В(0; – 5), О(0; 0);
2) 
АВС: А(2; 0), В(0; 2), С(0; – 2).
2.78. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер а, найти параллелепипед, имеющий наибольший объем.
