Примеры решения типовых задач. Пример 1. Вычислите предел

Пример 1. Вычислите предел .

Решение.

Шаг 1. Подставим в дробь: . В данном случае получена так называемая неопределенность . Применим правило 1.

Шаг 2. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: . Находим дискриминант: . По формуле находим корни уравнения: , . Таким образом .

Числитель на множители разложен. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

.

Шаг 3. Сокращаем дробь на :

.

Ответ: .

Пример 2. Вычислите предел .

Решение.

Шаг 1. Подставим в дробь. В данном случае получена так называемая неопределенность . Применим правило 2. Наивысшая степень многочленов числителя и знаменателя равна 5.

Шаг 2. Разделим числитель и знаменатель дроби на :

Шаг 3. Подставим в полученное выражение и учитывая, что , получим:

Ответ:

Пример 3. Вычислите предел .

Решение. Наивысшая степень многочленов числителя и знаменателя равна 6. Делим на , получим: .

Ответ: .