Решение типовых заданий

Задание 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Шаг 1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Шаг 2. Система (1) совместная, т.к. ступенчатая матрица не имеет строк вида
(0, 0, …, 0| b).

Шаг 3. Нулевых строк ступенчатая матрица не содержит.

Шаг 4. Число строк ступенчатой матрицы равно числу неизвестных системы уравнений: . Следовательно система имеет единственное решение.

Шаг 6. Составим систему уравнений, соответствующую ступенчатой матрице и выполним ее решение «снизу вверх»:

.

Шаг 7. Сделаем проверку:

.

Получили верное равенство, следовательно система уравнений решена верно.

Задание 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

.

Решение:

Шаг 1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

Шаг 2. Т.к. ступенчатая матрица содержит строку (0, 0, 15), система уравнений не имеет решений.

Задание 3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

.

Решение:

Шаг 1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

Шаг 2. Система уравнений совместна, т.к. ступенчатая матрица не содержит строк вида (0, 0, …, 0| b)..

Шаг 3. Удалим нулевую строку

.

Шаг 4. Т.к. число строк в ступенчатой матрице меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечное множество решений.

Шаг 5. По полученной матрице составим систему уравнений и выразим первые две переменные через третью переменную:

.

Общее решение системы , где z - любое число. Для получения частного рения положим, например, z= 1. Частное решение имеет вид (11, 7, 1).