Пример 18

Электрон, имеющий кинетическую энергию W, влетает в плоский конденсатор, между пластинами которого поддерживается разность потенциалов Dj. Расстояние между пластинами d, их длина . На расстоянии h от конденсатора находится экран (рис. 21). Начальная скорость электрона направлена параллельно пластинам. Найти смещение электрона на экране. Заряд электрона |е|. Силой тяжести пренебречь.

Рис. 21

Решение задач о движении заряженных частиц в электрическом поле конденсатора или заряженной плоскости сходно с решением задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту вблизи поверхности земли. Отличие состоит лишь в том, что движение частиц в однородном электрическом поле происходит с некоторым ускорением , отличным от ускорения свободного падения Действие силы тяжести в подобных задачах обычно не учитывается, так как гравитационные силы ничтожно малы по сравнению с электрическими.

Если электрон влетает в электрическое поле заряженного конденсатора, то под действием силы поля он будет отклоняться от своего начального направления движения и вылетит из конденсатора под некоторым углом
к этому направлению.

По условию задачи электрон влетает в конденсатор параллельно его обкладкам. Очевидно, что под действием сипы в поле конденсатора электрон будет двигаться по параболе. Выберем систему координат XOY так, как показано на рис. 21, и запишем уравнение, выражающее второй закон Ньютона, в проекциях на оси ОХ и ОY.

OX: OY:

где m – масса частицы.

Так как сила , действующая на электрон в электрическом поле, равна

(1)

то движение частицы вдоль оси ОХ будет происходить с постоянной скоростью, а вдоль оси OY – равноускоренно. Следовательно, кинематические уравнения движения электрона можно записать в виде

(2)

где – скорость электрона при влете в конденсатор; а_у– проекция ускорения электрона на ось OY:

(3)

Если длина конденсатора равна , то уравнения движения (2) электрона в момент вылета из конденсатора примут вид

(4)

где t – время движения электрона в конденсаторе; – смещение электрона по оси OY за этот промежуток времени.

Следовательно,

(5)

Для определения смещения при движении электрона в области от края конденсатора до экрана, достаточно определить угол a, который будет составлять вектор его скорости с пластинами, так как здесь электрон будет двигаться равномерно и прямолинейно. С этой целью определим проекции вектора на оси системы координат в момент вылета электрона из конденсатора:

Следовательно,

(6)

Наконец определим начальную скорость электрона при влете в конденсатор и величину напряженности поля между его обкладками.

Из выражения для кинетической энергии частицы

получим

(7)

Так как между обкладками конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов Dj, то напряженность электрического поля в зазоре конденсатора (8)