Векторная алгебра. Метод координат в пространстве

1.57. Вычислить модуль вектора .

1.58. Даны две координаты вектора y= 4; z=- 12. Определить его первую координату x при условии, что .

1.59. Определить координаты вектора , если A(2;0;-4), B(3;-3;-1).

1.60. Дан модуль вектора и углы образованные с осями координат: α= 135º; β= 120º; γ= 60˚. Найти проекции вектора на координатные оси (координаты вектора ).

1.61. Определить координаты вектора , составляющего с осями координат равные углы при условии, что =6.

1.62. Известны три последовательные вершины параллелограмма A(1;2;3),
B(-3;-2;1) и C(-6;3;2). Найти его четвертую вершину D.

1.63. Даны три вектора , , . Найти разложение вектора по базису , , .

1.64. Выяснить являются ли векторы и линейно зависимыми?

1.65. Среди векторов , , найти: 1) коллинеарные, 2) ортогональные.

1.66. Найти скалярное произведение векторов и .

1.67. Найти косинус угла между векторами и .

1.68. Найти проекцию вектора на направление вектора .

1.69. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти косинус угла между этими прямыми.

1.70. Даны вершины треугольника A(-3;-2;0), B(0;-2;4) и C(4;-2;1). Определить его внутренний угол A.

1.71. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

1.72. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(4;6;-2), B(7;4;4), C(1;1;6).

1.73. Найти высоту и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

1.74. Даны точки A(2;-1;3), B(1;2;0) и C(3;2;2). Найти координаты векторных произведений 1) ; 2) .

1.75. Даны вершины треугольника A(5;-6;3), B(1;-1;3) и C(1;3;0). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины A на сторону BC.

1.76. Найти площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и , где и – единичные векторы, образующие угол 135˚.

1.77. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

1.78. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках O(0;0;1), A(5;2;1), B(2;5;1) и С(1;2;5). Найти площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

1.79. Показать, что векторы , , компланарны и разложить вектор по векторам и .

1.80. Известны координаты трех вершин тетраэдра A(3;0;1), B(2;1;3), С(2;-1;-1). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy, а объем тетраэдра равен 5.

1.81. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор.

1.82. Найти угол между плоскостями:

1. x + y – 4 z + 3 = 0 и x – 2 y + 2 z +4 = 0,

2. x + 5 y – z – 6 = 0 и x – y – 3 z + 6 = 0,

3. x – 2 y + 2 z – 2 = 0 и x + z – 5 = 0.

1.83. Даны две точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

1.84. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам , .

1.85.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям x + 2 y – 2 z = 1,

x – 2 y +z= 4.

1.86. Найти расстояние точки (1;3;1) от плоскости 2 x – y – 2 z – 3 = 0.

1.87. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3;-1;-2) и отсекающей на осях координат равные отрезки.

1.88. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;0;2) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки a= 2 и b= 3.

1.89. Найти косинусы углов нормали плоскости 2 x + y + 2 z – 4 = 0 с осями координат.

1.90. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и через точку (3;4;-1).

1.91. Написать уравнение плоскости, проходящей через:

1) прямую и точку A(4;6;-3),

2) три точки A(-1;2;3), B(-2;11;4), С(-3;-2;1),

3) две параллельные прямые: и ,

4) две пересекающиеся прямые и .

1.92. Написать канонические уравнения прямой:

1) проходящей через две точки A(1;-1;3), B(2;1;-1),

2) проходящей через точку A(3;1;2) и параллельной вектору .

1.93. Найти косинус угла между прямыми:

и .

1.94. Найти расстояние точки M(2;-1;3) до прямой .

1.95. Найти расстояние от точки M(1;2;2) до плоскости, проходящей через точки , , .

1.96. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти:

1) длину ребра ,

2) угол между ребрами и ,

3) площадь грани ,

4) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины ,

5) уравнения высоты пирамиды, проведенной из вершины ,

6) объем пирамиды.

1.97. Даны вершины треугольника A(3;-1;-1), B(1;2;-7) и С(-5;14;-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

1.98. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку
M(-1;-3;2) и пересекает две прямые ; .

Ответы

1.1. 1.2. (5;-3). 3. (5;0). 1.4. (4;0), (0;4), (-4,0), (0;-4). 1.5. (2;4), (4;3), (1;1). 1.6. (7;4) и (10;6). 1.7. (8,5; -7,5). 1.8. 1.9. . 1.10. . 1.11. y+x-2=0. 1.12. . 1.13. .

1.14. x²+y²=4 1.15. y=- x +4. 1.16. y=3 x +5. 1.17. . 1.18. y= x -1. 1.19. - x +7y-5=0,

- x +y-5=0, - x -2y+4=0. 1.20. x +y-4=0; x -y+4=0; y=3, y=0. 1.21. . 1.22. . 1.23. . 1.24. а) 45° б) 60°. 1.25. -2y+5 x +4=0; -2y+5 x -25=0.

1.26. - x -3y+2=0; -5 x -y=4; -3 x +y=12. 1.27. 1.28. . 1.29. . 1.30. . 1.31. d=1. 1.32. .

1.33. 3 x +4y+6, 3 x +4y+6, 3 x +4y-14=0 или 3 x +4y+6=0, 3 x+ 4y+26. 1.34. 4 x +y+5=0, y-3=0. 1.35. Острый угол . 1.36. 3 x -19=0. 1.37. (1;2). 1.38. .

1.39. AB: x- y-7=0, CD: x+ y-5=0; BE: 3 x- y-13=0; CF: 5 x+ 3y-19=0.

1.40. . 1.41. x ²+y²+3y=0. 1.42. 2 x- y-2,5=0. 1.43. .

1.44. . 1.45. 2. 1.46. . 1.47. 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) или ; 10) . 1.48. 1) ;

2) ; 3) ; 4) . 1.49. .

1.50. . 1.51. 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) . 1.52. . 1.53. 1) y²=12 x; 2) y²=10 x; 3) x ²=4y; 4) x ²=-3y; 5) y²=-5 x.

1.54. . 1.55. О₁(-7; -1); y=-1. 1.56. 1) (1;0); 2) (0;2); 3) (-1;0); 4) (0;-0,5). 1.57. .

1.58. . 1.59. . 1.60. . 1.61. .

1.62. D(-2;7;4). 1.63. . 1.64. Нет. 1.65. . 1.66. –2.

1.67. . 1.68. . 1.69. 0,8.. 1.70. 45°. 1.71. . 1.72. 24,5.

1.73. . 1.74. 1) ; 2) . 1.75. 5. 1.76. . 1.77. 54.

1.78. , . 1.79. . 1.80. D₁(0;-8;0) D₂(0;-7;0).

1.81. x -2y+3z=0. 1.82. 1) 45° 2) 3) 45°. 1.83. - x +3z=0. 1.84. x +y+z-4=0.

1.85. 2 x- 3y+4z=0. 1.86. 2. 87. x +y-z=4. 1.88. . 1.89. .

1.90. 4 x+ 3y=0. 1.91. 1) 19 x -12y-13z-43=0. 2) -2 x +3y-1=0. 3)y+z+2=0. 4) –18 x +8y-15z+21=0.

1.92. 1) , 2) . 1.93. . 1.94. . 1.95. 3.

1.96. 1) , 2) , 3) S=12, 4) Н₁=3, 5) , 6) 12.

1.97. . 1.98. .