Амплитудно-частотный спектр

Огибающая АЧС последовательности прямоугольных видеоим­пульсов описывается функцией

.

 

и пересекает ось частот, когда х кратно л, т. е. п кратно q, τ. е. при частотах, кратных скважности. Поэтому именно эти частоты, равные

отсутствуют в спектре.

Обычно при построении спектров откладывают относительные

величины, т. е. и получают

относительный или нормированный спектр (рис. 15.6).

Спектральные составляющие с наибольшей амплитудой распо­ложены под первыми арками, в них сосредоточена и основная часть энергии сигнала. Поэтому эффективную ширину спектра можно определить как:

. (15.26)

Теоретически ширина спектра бесконечна, однако не все его составляющие оказывают действенное влияние на форму сигнала и имеют практическое значение. Поэтому под шириной спектра обычно понимают ограниченный диапазон частот, внутри которого распределена большая часть энергии сигнала. Ширина спектра, так же как, например, полоса пропускания контура, — понятие условное.

Рассмотрим особенности АЧС при изменении длительности и частоты следования импульсов (рис, 15.7).

С уменьшением частоты следования Ω при t_И = const происхо­дит сгущение спектра: расстояние между спектральными линиями уменьшается. Ширина спектра, определяемая его огибающей, не меняется, а основная часть энергии распределяется на большем числе гармоник.

 

С увеличением длительности импульсов при Ω = const ширина арок и связанная с ней ширина спектра уменьшаются: происходит относительное сжатие спектра. Основная часть энергии распреде­ляется на меньшем числе гармоник и сосредоточивается в области все более низких частот.

Таким образом, чем короче импульсы и больше их скважность, тем шире и гуще их спектр, и наоборот.

На практике часто приходится учитывать в спектре лишь ко­нечное число гармоник. Точность аппроксимации исходной функ­ции в этом случае зависит от числа учтенных гармоник. Она ока­зывается достаточной, если учитываются все гармоники, опреде­ляемые заданной шириной спектра.

Фазо-частотный спектр

Как следует из выражений (15.24) и (15.25) начальные фазы гармоник определяются как:

Отсюда следует, что огибающая ФЧС представляет собой пря­мую с углом наклона α, зависящим от сдвига импульсов. Учет из­менения от арки к арке фазы гармоник на я осуществляется соот­ветствующим смещением этой прямой параллельно себе на π вверх или вниз (рис. 15.8).

Каждая арка АЧС имеет ширину, равную qΩ. Поэтому вели­чина сдвига фазы на одну арку составляет угол:

. (15.28)

Поэтому угол наклона α огибающей ФЧС, как это следует и из рис. 15.9, равен арктангенсу от величины сдвига импульсов:

. (15.29)

Чем больше сдвиг импульсов во времени, тем больше наклон огибающей их ФЧС (рис. 15.9). При t₀ = 0 угол α равен нулю.

Симметричные частотные спектры имеют аналогичный вид, но построение спектральных линий на них распространяется на ось отрицательных частот. При этом АЧС и ФЧС оказываются симмет­ричными относительно оси ординат и начала отсчета соответ­ственно (рис. 15.10).

Пример 15.1.

Рассчитать спектры периодической последовательности прямоугольных видео­импульсов, если: U_m = 10O мВ; q = 5; = 0,02 мс; t₀ = 2 t_И.

Решение.

1. Расстояние между спектральными линиями, равное частоте следования импульсов:

2. Ширина арки:

.

3. Количество спектральных линий под каждой аркой:

.

4. Сдвиг фазы на одну арку:

5.

Постоянная составляющая:

6. Т абличные значения функции соответствующие частотам F, 2F, 3F и рассчитанные с их помощью амплитуды и начальные фазы гармоник:

В спектре отсутствуют гармоники, кратные q = 5, т. е. 5F = 50 кГц, lOF = 100 кГц, 15F = 150 кГц и т. д.

СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ

Рассчитаем спектр симметричной относительно оси ординат последовательности прямоугольных радиоимпульсов (рис. 15.11):

Здесь и Ω — период и частота следования импульсов;

ω_H — несущая частота.

Если несущая частота кратна частоте следования, т. е. ω_H = kΩ, где k — целое число, то импульсы называются когерентными, если эти частоты некратны (), то импульсы — некогерентные.

С помощью выражения (15.4) находим постоянную состав­ляющую

В силу симметрии функции относительно оси ординат ряд Фурье будет содержать лишь косинусоиды (b_n = 0).

Отсюда следует, что амплитуды гармонических составляющих резко возрастают в районе значений частот, близких к ω_н, т. е. .По в этом районе значений п второе слагаемое в выражении (15.32) значительно меньше первого, и им можно прене­бречь. Кроме того, так как ω_H>Ω, постоянной составляющей можно также практически пренебречь.

Таким образом, при сделанных допущениях

Отсюда следует, что огибающая АЧС последовательности пря­моугольных радиоимпульсов определяется, так же как и для по­следовательности аналогичных видеоимпульсов, функцией . Разница лишь в том, что эта функция сдвинута по оси частот на величину , а ее максимум вдвое меньше и соответ­ствует частоте . (рис. 15.12).

В спектре некогерентной последовательности радиоимпульсов несущая частота сон отсутствует, и наибольшую ампли­туду имеет составляющая с частотой, близкой к . Если импульсы когерентны, то в их спектре присутствует составляющая несущей частоты, имеющая наибольшую амплитуду, равную (рис. 15.13).

Таким образом, спектр последовательности прямоугольных ра­диоимпульсов совпадает со спектром последовательности прямоугольных видеоимпульсов, смещенным вправо по оси частот на величину ω_н. При этом часть спектра, лежащая в области ω<ω_н, является зеркальным отображением части спектра, лежащего в области ω> ω_н. Сделанные выводы тем точнее, чем ω_н >Ω,

При комплексной форме ряда Фурье и построении симметричных спек­тров п принимает не только положительные, но и отрицательные значения. При отрицательных п в формуле (15.32) нельзя пренебречь вторым слагаемым, так как в районе частот , оно становится, наоборот, значительно больше первого слагаемого.

Наиболее эффективные спектральные составляющие, имеющие наибольшие амплитуды, у радиоимпульсов сосредоточены вблизи несущей частоты. Эффективная ширина спектра радиоимпульсов в два раза больше, чем у одинаковых по длительности видеоим­пульсов.

Пример 15.2.

Построить AЧC периодической последовательности прямоугольных радио­импульсов, если U_m = 100 мВ; f_H=250 МГц; кГц; t_И = 100 мкс.

Решение.

1. Скважность импульсов:

.

2. Ширина малых арок и половины большой арки:

3. Максимальная ордината огибающей спектра:

мВ.

4. Так как f_H кратно F, импульсы когерентны, основная спектральная со­ставляющая имеет частоту, равную f_H = 250 МГц.

В спектре, показанном на рис. 15.13, присутствуют частоты:

отсутствуют частоты:

Амплитуды соответствующих гармоник могут быть непосредственно отсчи­таны из графика как ординаты огибающей, взятые при соответствующих ча­стотах.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ФОРМОЙ СИГНАЛА И ЕГО СПЕКТРОМ

Форма сигнала в полной мере определяется лишь совокупно­стью двух его спектров: АЧС и ФЧС. Тем не менее можно устано­вить ряд характерных связей между формой сигнала и парамет­рами его АЧС, которые позволяют на практике, имея АЧС, судить о форме сигнала, и наоборот.

Сравнивая спектры прямоугольных и треугольных импульсов, заметим, что ряд Фурье в случае треугольных импульсов сходится быстрее, чем в случае прямоугольных импульсов, так как ампли­туды гармоник убывают быстрее с ростом их номера (табл. 15.1). Закономерность, по которой уменьшаются амплитуды гармоник с ростом их номера, можно выразить через число раз дифферен­цирования исследуемой функции, необходимое для "выделения из нее дельта-функций. Пусть в k-й производной исследуемой функ­ции появляются дельта-функции. Тогда для коэффициентов Фурье имеют силу неравенства:

где М — постоянная, зависящая от формы сигнала.

Скорость убывания амплитуд гармоник в спектре зависит от структурных свойств сигнала: коэффициенты убывают тем быст­рее, чем более «гладкой» является форма сигнала и его производ­ных. Если сигнал имеет скачкообразные переходы (его функция имеет конечные разрывы) и в его первой производной появляются δ(t)-импульсы, то амплитуды гармоник в его спектре стремятся к нулю очень медленно — порядок 1/п; если'же в пределах пе­риода следования сигнал непрерывен, но в его первой производ­ной имеются конечные разрывы, а во второй — δ(t)-импульсы, то амплитуды его гармоник стремятся к нулю быстрее—порядок не ниже 1/ n ² и τ. д..Чем быстрее убывают коэффициенты Фурье, чем более «гладкая» форма сигнала, тем меньше ширина его спектра. В пределе имеет место наиболее «гладкое» моногармоническое колебание.

Понятие длительности определено лишь для прямоугольных и сходных с ними импульсов. На практике длительность импульса произвольной формы, так же как и ширину спектра сигнала, определяют энергетическим методом, т. е. как интервал времени, внутри которого сосредоточена большая часть его энергии, на­пример 90%. Ширина спектра импульсов получается тем больше, чем меньше длительность импульсов.

 

 

Важным свойством АЧС сиг­нала является то, что произведение длительности импульса на ширину спектра есть величина постоянная для импульсов данной формы:

. (15.35)

Это свойство присуще спектрам любых сигналов и играет су­щественную роль при выборе их параметров.

Уменьшение длительности радиолокационных импульсов, на­пример, позволяет увеличить точность определения координат цели. Однако увеличение при этом ширины спектра сигнала за­трудняет обеспечение требуемой помехозащищенности радиопри­емных устройств. Такая противоречивость следует из усло­вия (15.35). Поэтому желательно выбирать такую форму импуль­сов, чтобы произведение имело наименьшую величину. Ана­лиз показывает, что это произведение получается меньше для тех импульсов, которые изменяются во времени более плавно, форма которых более «гладкая». Наименьшая его величина, весьма близ­кая к теоретически достижимому минимуму, получается у коло-колообразных импульсов.

При грубых оценках в технике принято считать, что произведе­ние соответствующим образом определенной длительности многих простейших сигналов на эффективную ширину их" спектра близко к единице, т. е.