Метод Якоби

Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x ₁, из второго уравнения системы выразим x ₂, и т. д. В результате получим систему уравнений с матрицей, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

, i, j = 1, 2,... n.

Компоненты вектора d вычисляются по формулам:

, i = 1, 2,... n.

Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

,

или в покоординатной форме записи выглядит так:

, i = 1, 2,... m.

Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид:

, где .

Если , то можно применять более простой критерий: окончания итераций

ПРИМЕР 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби.

Пусть дана система уравнений:

Требуется найти решение системы с точностью

Приведем систему к виду удобному для итерации: .

Выберем начальное приближение, например, - вектор правой части.

Тогда первая итерация получается так:

Аналогично получаются следующие приближения к решению.

, ,

Найдем норму матрицы . Будем использовать норму .

Так как сумма модулей элементов в каждой строке равна 0.2, то = 0.2 < 1/2, поэтому критерий окончания итераций в этой задаче .

Вычислим нормы разностей векторов: , .

Так как , заданная точность достигнута на четвертой итерации.

О твет: x ₁ = 1.102, x ₂ = 0.991, x ₃ = 1.101