2015-05-13
592
Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному x i при i >1 используют уже найденные (n+1)-е приближения к неизвестным x 1, x 2,..., x i - 1, а не n-ое приближение, как в методе Якоби. Расчетная формула метода в покоординатной форме записи выглядит так:
,
i = 1, 2,... m.. Условия сходимости и критерий окончания итераций можно взять такими же как в методе Якоби.
ПРИМЕР 2. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя.
Рассмотрим параллельно решение 3-х систем уравнений:
, 
, 
.
Приведем системы к виду удобному для итераций:
, 
, 
.
Заметим, что условие сходимости 
выполнено только для первой системы. Вычислим 3 первых приближения к решению в каждом случае:
1-ая система. 
, 
, 
, 
Точное решение здесь x 1 = 1.4, x 2 = 0.2. Итерационный процесс сходится.
2-ая система. 
, 
, 
, 
- итерационный процесс разошелся.
Точное решение x 1 = 1, x 2 = 0.2.
3-я система. 
, 
, 
, 
- итерационный процесс зациклился.
Точное решение x 1 = 1, x 1 = 2.
|
|
|
Пусть матрица системы уравнений A - симметричная и положительно определенная. Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы здесь не накладывается.
