Примеры решения задач. Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с

Задача 1.

Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0.5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень?

Решение

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось

;

с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости v_y=0, а :

. (1)

Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v_0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось:

(2)

и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения:

, (3)

. (4)

Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим:

. (5)

Из (5) находим v_0y: .

Далее из (1) находим высоту подъема: .

Ответ: h =2.99 м.

Задача 2.

Уравнение движения тела имеет вид x=5t+0.8t³. Определить ускорение и скорость тела в начальный момент времени, а также среднее ускорение за первые 5 секунд движения.

Решение

Поскольку , то

. (1)

Далее, из получим

. (2)

Подставив в (1) и (2) t=0, найдем v₀=5 м/с, а ₀=0 м/с².

Среднее ускорение находим по определению , то есть , где скорость в момент времени t=5c находим из (1): v_t=v₅=5+2.4^.5²=65 м/с. Окончательно

Ответ: а ₀=0 м/с²; v₀=5 м/с; а _ср.=12 м/с².

1. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. Какова была начальная скорость тела? На какую высоту поднялось тело?

2. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через 2 секунды мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

3. Тело падает вертикально с высоты 19.6 м без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за первую 0.1 с своего движения? За последнюю 0.1 с своего движения?

4. Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.

5. Мотоциклист, имея начальную скорость 10 м/с, стал двигаться с ускорением 1 м/с². За какое время он пройдет путь 192 м и какую скорость приобретет в конце пути?

6. Поезд, движущийся со скоростью 72 км/ч, проходит от начала торможения до остановки расстояние 1 км. Чему равно ускорение? Найти скорость поезда у светофора, находящегося в середине тормозного пути.

7. Зависимость координаты тела от времени дается уравнением x=9t–6t²+t³ (координата – в метрах, время – в секундах). Найти зависимость скорости и ускорения от времени; путь, перемещение, скорость и ускорение тела через 2 секунды после начала движения. Движение прямолинейное.

8. Зависимость координаты тела от времени дается уравнением x=16–9t²+2t³. Найти среднее значение модуля скорости и величину среднего ускорения тела в интервале времени от 1 секунды до 4 секунд.

9. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения тела имеет вид: x=2+3t+0.01t³ (координата – в метрах, время – в секундах). Каковы скорость и ускорение в моменты времени 0 с и 10 с от начала движения?

10. Тело падает вертикально с высоты 19.6 м без начальной скорости. За какое время тело пройдет первый метр своего пути? Последний метр своего пути?

11. Камень бросили вверх на высоту 10 м. Через сколько времени он упадет на землю? На какую высоту поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?

12. Тело падает без начальной скорости с высоты 490 м. Определить перемещение тела в последнюю секунду падения.

13. Камень, брошенный горизонтально с высоты 2 м над землей, упал на расстоянии 7 м от точки бросания (по горизонтали). Найти его первоначальную и конечную скорости.

14. Камень брошен горизонтально с высоты 30 м с начальной скоростью 30 м/с. На каком расстоянии по горизонтальному направлению и под каким углом к горизонту он упал?

15. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м со скоростью 15 м/с. Через сколько времени тело упадет на землю? На каком расстоянии от места бросания по горизонтали упадет тело и какова будет его скорость в момент падения?

16. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении, упало на расстоянии 40 м от основания башни под углом 45⁰ к горизонту. Найти высоту башни и начальную скорость тела.

17. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, упало на землю на расстоянии, вдвое большем, чем высота башни. Найти высоту башни.

18. Снаряд вылетел из дальнобойной пушки с начальной скоростью 1000 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Сколько времени снаряд будет находиться в воздухе? На каком расстоянии от пушки он упадет на землю?

19. Из одинаковых пожарных труб бьют струи воды: одна под углом 45⁰ к горизонту, другая – 60⁰. Во сколько раз наибольшая высота, достигаемая первой струей, меньше, чем вторая?

20. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40⁰ к горизонту. Найти: на какую высоту поднимется мяч; на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю; сколько времени он будет в движении; под каким углом к горизонту летел мяч на половине максимальной высоты.

21. Тело брошено под углом к горизонту. Продолжительность полета 2.2 с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

22. Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а обратно – 16 км/ч. Найти среднюю скорость парохода и скорость течения реки.

23. Движение двух материальных точек выражается уравнениями:

x₁=20+2t–4t³ и x₂=2+2t+0.5t³ (координаты в метрах, время в секундах). В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

24. Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью 10 км/ч, вторую треть со скоростью 20 км/ч и последнюю треть – со скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость движения автомобиля.

25. Тело начинает падать со скоростью 16 м/с, находясь на высоте 200 м. Определить, через сколько времени тело достигнет земли, если начальная скорость направлена: а) вверх; б) вниз. Доказать, что скорость приземления в обоих случаях одинакова.

26. Тело свободно падает и последние 196 м пути проходит за 4 секунды. Сколько времени падало тело? Чему равна высота?

27. Тело брошено под углом 30⁰ к горизонту. С какой скоростью было брошено тело и какова горизонтальная дальность его полета, если оно находилось в полете 2 с? Какова максимальная высота подъема тела?

28. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит половину всего пути. Найти, с какой высоты падает тело; продолжительность его падения.

29. Фонарь, находящийся на расстоянии 3 м от вертикальной стены, бросает на нее световой «зайчик». Фонарь равномерно вращается вокруг вертикальной оси с частотой 0.5 Гц. При вращении фонаря «зайчик» бежит по стене по горизонтальной прямой. Найдите скорость «зайчика» через 0.1 с после того, как луч света был перпендикулярен стене.

30. Скорость тела выражается формулой v=9–t². Найти путь и перемещение тела через 10 секунд от начала движения.