Операции над матрицами

1) Суммой матриц А+В называют такую матрицу С, для которой c_ij=a_ij+b_ij.

Складывать можно матрицы одинаковой размерности. Операции сложения матриц обладают такими же свойствами, что и операции сложения действительных чисел: А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

А+0=А

2) Произведением матрицы А на действительное число

называют такую матрицу С = А, для которой c_ij= а_ij.

Из данного определения вытекают следующие свойства:

α βA= α(βA)

α (A+B)=α A+ αB

(α +β)A= α A + βB

где α, β - действительные числа; А, В - матрицы.

Разность матриц А - В можно ввести как сумму А +(-1)В.

3) Произведением матрицы на матрицу называется матрица элементы которой ; ,

то есть элемент матрицы С, стоящий на пересечении i -ой строки и j -го столбца равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

В общем случае: АВ ВА.

Матрицы называются коммутативными, если АВ=ВА

Имеют место следующие свойства произведения матриц (проверьте самостоятельно):

(АВ)С=А(ВС),

(А+В)С=АС+ВС,

α АВ = (α А)В = А(α В),

АЕ = ЕА = А, где Е - единичная матрица,

А 0 = 0, где 0 - нулевая матрица.

Если у матрицы А строки заменить соответствующими столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу, которую обозначают A^T.

Имеют место следующие свойства для A^T (проверьте самостоятельно):

(A^T)^T=A

(A+B)^T=A^T+B^T

(α A)^T= α A^T

(AB)^T=B^T A^T

Пример 1. Найти: С = 2А - 3(В - А),

где ;

Решение. С=2А-3(В-А)=2А-ЗВ+ЗА=5А-ЗВ.

Пример 2. Найти АВ,

где ; .