; ; .
Пример 2. Представить в алгебраической форме комплексное число .
Решение. По формуле Эйлера
.☻
Функции определяются равенствами ; .
Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии.
3. Гиперболические функции определяются равенствами
; ; ; .
Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями
Задача 1. Используя формулы Эйлера, доказать соотношения
; ;
; ;
; ;
; ,
а также следующие формулы
;
;
;
;
;
.
Пример 3. Выделить действительную и мнимую части функции .
Решение. Полагаем , тогда
.
В силу соотношений задачи 1 имеем , то есть , . ☻
4. Логарифмическая функция , , определяется как функция, обратная показательной. Если , , то называется логарифмом числа . Полагая , , получим или
Значит,
Эта функция является многозначной. Главным значением функции называется то значение, которое соответствует главному значению аргумента числа :
.
Для логарифмической функции справедливы следующие соотношения:
.
В качестве упражнения рекомендуем доказать эти три соотношения.
|
|
Пример 4. Представить в алгебраической форме комплексное число .
Решение. (см. пример 10, §1). Таким образом,
☻
5. Общая степенная функция , где – любое комплексное число, определяется равенством .
В силу многозначности логарифма функция многозначна. Главное значение функции соответствует главному значению : .
6. Общая показательная функция , где – любое комплексное число, определяется равенством
.
Главное значение этой функции .
Пример 5. Найти 1) ; 2) ; 3) .
Решение. Согласно формуле п.6 1) .
2)
3) Решить самостоятельно. Ответ: . ☻
7. Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные соответственно к синусу и косинусу:
если , если .
Аналогично определяются функции , а также обратные гиперболические функции. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические:
; ;
; ;
; .
Покажем справедливость первого соотношения. Если , то . На основании формул Эйлера , откуда или . Решая это квадратное относительно уравнение, получим . (Здесь символом обозначены оба значения корня). Значит, = .
Оставшиеся соотношения рекомендуем показать в качестве упражнения.
Пример 6. Найти все значения .
Решение.
- целое. ☻