Пусть однозначная функция комплексной переменной определена в области .
Определение. Число называется предельным значением функции вточке , , если можно указать такое , , что для всех точек , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .
Пример 1. Найти .
Решение. . ☻
Определение. Функция непрерывна в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и совпадает с частным значением функции в этой точке, то есть .
Иначе: функция непрерывнавточке , если можно указать такое , , что для всех точек , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .
Функция, непрерывнаявкаждой точке области , называется непрерывной в этой области. Точкой разрыва функции называется точка, в которой нарушается непрерывность.
Пример 2. Функция непрерывна на всей комплексной плоскости; функция имеет две точки разрыва ; функция терпит разрыв в точках . ☻
Непрерывность функции равносильна непрерывности двух действительных функций и .
Определение. Функция равномерно непрерывна в области , если можно указать такое , , что для любых двух точек , расстояние между которыми меньше : , расстояние между соответствующими значениями функции меньше : .
|
|
Пример 3. Функция непрерывна в круге и равномерно непрерывна в замкнутом круге , где , то есть в круге радиуса немного меньше единицы. ☻