Дуговой маятник

Дуговой маятник представляет собой тело, масса которого распределена по дуге окружности определённого радиуса (рис. 92), способный вращаться вокруг оси, проходящей через т. А. Свойства такого маятника отличаются от свойств уже рассмотренных. Для дугового маятника не выполняется свойство изохронности колебаний, но период его колебаний не зависит от размеров дуги.

Закон движения дугового маятника можно вывести из основного уравнения динамики для вращательного движения. В положении равновесия маятника точка подвеса его и центр масс (т. С) лежат на одной вертикали. При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы тяжести, возвращающий его в положение равновесия. Предположим, что маятник отклонён от положения равновесия на угол a. Момент силы тяжести при этом равен:

Основное уравнение динамики вращательного движения в этом случае записывается в виде:

(337)

где I_a - момент инерции маятника относительно точки подвеса.

Момент инерции относительно точки подвеса можно определить, пользуясь теоремой Гюйгенса-Штейнера. Действительно, момент инерции маятника (дуги) относительно геометрического центра дуги с одной стороны равен mR², так как все точки дуги лежат на одном расстоянии от её центра, с другой стороны, по теореме Штейнера, равен I_c+m^.(R–AC)², откуда можно определить момент инерции дуги относительно её центра масс. Далее, опять по теореме Штейнера, определяем момент инерции дуги относительно точки подвеса I_c =I_a + m(AC)²=2mR.^.AC. Пользуясь полученным выражением момента инерции, основной закон динамики перепишем в виде

Как видно, это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний, циклическая часто­та колебаний равна , а их период, соответственно, . Таким образом, полученный результат для периода колебаний дугового маятника показывает, что он не зависит от размеров дуги, а определяется только её радиусом.