Пружинные маятники

Пружинные маятники представляют собой тела, укреплённые на упругих пружинах. При этом упругостью самого тела и массой пружины пренебрегают.

В зависимости от способа крепления маятника и предоставляемой ему свободы перемещения его перемещение может происходить только под действием силы упругости (горизонтально расположенный маятник) или под действием сил упругости и силы тяжести тела маятника при вертикальном расположении маятника. На рис.87 представлены оба маятника.

Рассмотрим сначала горизонтальный пружинный маятник. Если телу маятника сообщить отклонение от положения равновесия x, то на него будет действовать сила упругости пружины, пропорциональная при малых отклонениях первой степени смещения и противоположно ему направленная. Под действием этой силы и будет происходить дальнейшее движение тела маятника. По второму закону динамики дифференциальное уравнение движения принимает вид:

Т.е. является уравнением гармонических колебаний, решением которого является гармоническая функция:

Циклическая частота равна , а период, соответственно,

Таким образом, период колебаний (циклическая частота) определяется параметрами маятника, что же касается амплитуды коле и начальной фазы, то они, как было сказано ранее, определяются из начальных условий.

При вертикальном расположении маятника на характер движения тела будет оказывать влияние не только сила упругости пружины, но я сила тяжести тела. При отклонении тела от положения равновесия на x, на него будут действовать сила упругости и сила тяжести. При малых отклонениях сила упругости пропорциональна первой степени смещения и противоположно ему направлена . По второму закону динамики запишем дифференциальное уравнение движения:

или

В отличии от предыдущего случая правая часть уравнения не равна нулю, уравнение является неоднородным. Решением такого уравнения будем искать в виде . После подстановки искомого решения в уравнение движения полу­чаем тождество:

Как видно тождество выполняется при условии, что .

Легко убедиться, что дополнительный постоянный член в решении означает смещение тела маятника в положении равновесия под дей­ствием силы тяжести.