ФИЗИческий маятник

В реальных случаях тела маятников нельзя рассматривать как материальные точки, т.е. размерами тел нельзя пренебрегать. Обычно Физическим маятником называют твёрдое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.

Если же ось проходит через центр масс, тело находится в положении безразличного равновесия и не является маятником. Физический маятник произвольной формы приведен на рис.88.

Предположим, что тело маятника отклоняется от положения равновесия на малый угол a. На тело маятника действуют сила тяжести, проходящая через центр масс, и сила реакции опоры, проходящая через ось O. Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси вращения тела, равен I_c, то по теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно оси O равен I_c+ma², где a - расстояние между осями. Момент реакции подвеса относительно оси вращения равен нулю, поскольку линия действия реакции проходит через эту ось, а момент силы тяжести равен . При малых углах отклонения выполняется условие , т.е. момент силы тяжести можно представить в виде -mgaa. Знак "-" указывает на то, что направление момента силы и угловое отклонение про­тивоположны. Основное уравнение динамики вращательного движения приводит к дифференциальному уравнению движения тела маятника в виде:

(334)

Как и в предыдущих случаях, его решением является гармоническая функция a=a₀*sin(wt+j). Круговая частота колебаний маятника определяется из соотношением

А период колебании, соответственно, равен:

(335)

Сравнивая выражения для периода колебаний математического и физического маятников, заметим, что период колебаний физического маятника равен периоду колебаний такого математического маятника, который имеет длину:

Из такой аналогии величину l_пр называют приведённой длиной физического маятника.

Поскольку момент инерции физического маятника относительно оси вращения по теореме Гюйгенса-Штейнера равен:

приведённую длину можно записать в виде:

Следовательно, приведённая длина физического маятника больше расстояния от оси вращения до центра масс тела на величину I_c/ma.

Из выражения для периода колебаний физического маятника:

видно, что при очень малых значениях a (ось маятника проходит близко к центру масс) и при больших его значениях период колебаний принимает максимальные значения. Следовательно, при некотором промежуточном значении период колебаний будет минимальным. Значение а, при котором период колебаний будет минимальным, можно найти из условия экстремума:

т.е.

График зависимости периода колебаний от расстояния от оси маятни­ка до центра масс приведен на рис.89.

Точка маятника, лежащая на прямой, соединяющей точку подвеса и центр масс на расстоянии, равном приведённой длине, называется центром качания маятника.