Апериодическое (инерционное) звено

Звено описывается дифференциальным уравнением:

(2.3)

Передаточная функция звена:

.

Переходная функция этого ТЗ определяется как решение дифференциального уравнения (2.3). Известно, что решение неоднородного дифференциального уравнения (2.3) складывается из общего решения однородного уравнения

(2.4)

и частного решения неоднородного уравнения (2.3):

Общее решение уравнения первого порядка (2.4) записывается в виде:

,

где С - постоянная интегрирования, определяемая с использованием начальных условий; - корень характеристического уравнения .

Частное решение записывается в форме правой части уравнения (2.3), т. е. . Тогда решение уравнения апериодического звена примет вид:

.

Для определения С воспользуемся нулевыми начальными условиями. При . Следовательно , или . Подставляя значение С в выражение для , получим переходную функцию апериодического ТЗ:

.

График переходной функции апериодического ТЗ (рис. 2.8, а) представляет экспоненциально нарастающую кривую. Значения при и определяются, соответственно, выражениями:

;

;

Следовательно, постоянная времени Т равна времени, в течение которого выходной параметр достигает величины 0,632 от нового установившегося значения. Чем больше постоянная времени Т, тем медленнее протекает переходный процесс в ТЗ (рис. 2.8, б). Обычно переходный процесс считается законченным, если достигает 95% своего установившегося значения, т. е. . Это соответствует времени , т. е. переходный процесс в апериодическом ТЗ можно считать практически законченным по истечении времени 3 Т. При различных значениях коэффициента передачи k, но одинаковом Т переходные характеристики отличаются лишь величиной выходного параметра, а время переходного процесса этих звеньев одинаковое (рис. 2.8, в).

Частотная функция апериодического ТЗ получается из передаточной функции заменой s на j :

. (2.5)

Умножив числитель и знаменатель правой части равенства (2.5) на комплексно-сопряженное выражение знаменателя , получим:

.

Тогда АЧХ и ФЧХ будут определяться выражениями:

. (2.6)

.

Из формулы (2.6) для АЧХ апериодического ТЗ следует, что с увеличением частоты колебаний величина A() уменьшается, что характеризует уменьшение при . Апериодическое ТЗ обладает свойством низкочастотного фильтра: хорошо пропускает сигналы низких частот и плохо - сигналы высоких частот колебаний (рис. 2.9,а). Из ФЧХ апериодического ТЗ (рис. 2.9,б) ясно, что выходные колебания отстают по фазе от входных колебаний тем больше, чем больше частота колебаний. При амплитуда стремится к нулю, а приближается к .

АФЧХ типового звена можно построить с использованием выражений как для ReW и ImW, так и для A() и . При построении АФЧХ по А() и для каждой частоты проводят от начала координат прямую под углом и откладывают на прямой отрезок, равный А(). Концы отрезков прямых, проведенных для разных частот, соединяют плавной кривой и, таким образом, получают АФЧХ звена. На АФЧХ проводят стрелку, указывающую направление движения вдоль кривой АФЧХ, соответствующее увеличению частоты колебаний. АФЧХ апериодического ТЗ представляет собой полуокружность в IV квадранте комплексной плоскости (рис. 2.9,в).