Задание 2. Найти единичные векторы репера Френе , уравнение касательной, кривизну и кручение кривой в данной точке t0 =

Найти единичные векторы репера Френе , уравнение касательной, кривизну и кручение кривой в данной точке t₀ = , если

= cos³t +sin³t +cos2t .

Решение. Предварительно находим первые, вторые и третьи производные заданной функции: = cos³t +sin³t +cos2t .

Находим первые, вторые и третьи производные в данной точке t₀ = .

Находим единичные векторы репера Френе .

Единичный касательный вектор можно получить, разделив касательный вектор на его длину. Находим:

, | | = ,

= = ().

Ранее мы показали, что направление бинормали можно задать вектором , так как || [ ]. Поэтому полагаем

.

= = - - .

Так как | | = , то

= ().

Далее находим вектор .

= = ,

().

Находим уравнение касательной, кривизну и кручение кривой в данной точке t₀ = .

Касательная прямая определена точкой М₀ () и направляющим вектором ().

Для составления уравнения можно выбрать вектор, коллинеарный вектору , например, вектор (3 ; -3 ; 8).

Поэтому получим канонические уравнения касательной:

.

Находим кривизну кривой по формуле

k = .

Ранее мы находили

| | = , | | = .

Следовательно,

k = : ()³ = .

Кручение кривой находим по формуле

t(t) = .

= = - 9 +11,25 -11,25 – 9 = -18.

Так как | | = , то t(t) = -18: ()² = - .

Ответ: (), (), (),

k = , t(t) = - .