Задание 3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали в точке ( ), первую и вторую квадратичные формы поверхности

Найти уравнения касательной плоскости и нормали в точке (), первую и вторую квадратичные формы поверхности, заданной уравнением , если = .

Решение. Находим векторы и .

(-bcosvsinu; -bsinvsinu; bcosu),

(- ( +bcosu)sinv; ( +bcosu)cosv; 0).

По условию задачи мы должны найти уравнение касательной плоскости при = , = , то есть в точке М₀ (0; ; ). Учитывая, что = , = , получим:

(0; - ; ),

(- (); 0; 0).

Находим уравнение касательной плоскости в точке М₀ (0; ; ):

Û Û – () + – = 0 Û + – ( + ) = 0.

Уравнение касательной: + – ( + ) = 0.

Находим уравнение нормали в точке М₀ (0; ; ). Из уравнения касательной плоскости находим нормальный вектор к поверхности в точке М₀: . Вектор будет направляющим вектором искомой нормали. Находим канонические уравнения нормали к поверхности:

.

Находим коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:

E = = . =b².

F = = 0.

G = = = .

I = b²du² + dv².

E G – F² = .

.

Находим вторые частные производные:

,

,

(- ( +bcosu)сosv; -( +bcosu)sinv; 0).

Ранее мы получили формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы:

L = M = N = .

() = = = = .

L = = = .

L = .

() = = 0.

М = = 0.

(- ( +bcosu)сosv; -( +bcosu)sinv; 0).

(-bcosvsinu; -bsinvsinu; bcosu),

(- ( +bcosu)sinv; ( +bcosu)cosv; 0).

() = =

= .

N = = : = .

II = bdu² + dv².

Ответ: y + z – ( + ) = 0, ,

I = b²du² + dv², II = bdu² + dv².