2015-05-13
748
Найти уравнения касательной плоскости и нормали в точке (
), первую и вторую квадратичные формы поверхности, заданной уравнением 
, если 
= 
.
Решение. Находим векторы 
и 
.
(-bcosvsinu; -bsinvsinu; bcosu),
(- (
+bcosu)sinv; ( +bcosu)cosv; 0).
По условию задачи мы должны найти уравнение касательной плоскости при 
= 
, 
= 
, то есть в точке М0 (0; 
; 
). Учитывая, что = , = , получим:
(0; - ; ),
(- (); 0; 0).
Находим уравнение касательной плоскости в точке М0 (0; ; ):
Û 
Û 
– () + 
– = 0 Û + – ( + 
) = 0.
Уравнение касательной: + – ( + ) = 0.
Находим уравнение нормали в точке М0 (0; ; ). Из уравнения касательной плоскости находим нормальный вектор к поверхности в точке М0: 
. Вектор будет направляющим вектором искомой нормали. Находим канонические уравнения нормали к поверхности:
.
Находим коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:
E = 
= 
. 
=b2.
F = 
= 0.
G = 
= 
= 
.
I = b2du2 + dv2.
E G – F2 = 
.
.
Находим вторые частные производные:
,
,
(- ( +bcosu)сosv; -( +bcosu)sinv; 0).
Ранее мы получили формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы:
|
|
|
L = 
M = 
N = 
.
(
) = 
= = 
= 
.
L = = 
= 
.
L = .
(
) = 
= 0.
М = 
= 0.
(- ( +bcosu)сosv; -( +bcosu)sinv; 0).
(-bcosvsinu; -bsinvsinu; bcosu),
(- ( +bcosu)sinv; ( +bcosu)cosv; 0).
(
) = 
=
= 
.
N = = : = 
.
II = bdu2 + dv2.
Ответ: y + z – ( + ) = 0, ,
I = b2du2 + dv2, II = bdu2 + dv2.
