для студентов 1 курса отделения МоАИС

А 1. Отображение : () E³ называется непрерывным в точке х₀ ()

1) если для любого числа > 0 из условия х () следует, что

расстояние от точки (х) до точки (х₀) меньше

2) если оно является биекцией

3) если оно непрерывно в каждой точке интервала ()

4) если

5) другой ответ

А 2. Множество точек пространства называется простой кривой

1) если это множество является локально топологическим образом элементарной кривой

2) если каждая точка М Î g имеет такую окрестность U_M в Е₃, что Ç U_M = g_М является элементарной кривой

3) если это множество является образом интервала при гомеоморфизме

4) если это множество является образом интервала при непрерывном отображении

5) другой ответ

А 3. Кривая называется регулярной класса С^к

1) если существует параметризация (t), что каждая координатная функция вектора (t) принадлежит классу регулярности С^к и ^’(t)

2) если для любой ее параметризации (t) каждая координатная функция принадлежит классу регулярности С^к и ^’(t)

3) если существует такая ее параметризация, что каждая координатная функция вектора (t) принадлежит классу регулярности С^к

4) если существует такая ее параметризация (t), что ^’(t)

А 4. Касательной к кривой g: , () в точке М (t) Î g называется

1) прямая (М (t), М′(t+Dt)), если t, t+Dt Î ()

2) предел прямых (М (t), М¢(t+Dt)), t, t+Dt Î () при Dt ® 0, (если он существует)

3) предел прямых (М (t), М¢ (t+Dt)), t, t+Dt Î () при Dt ® 0

4) прямая, которая задана точкой М (t) и направляющим вектором

5) другой ответ

А5. Пусть - к -регулярная кривая (к ≥ 2), = -ее естественная параметризация. М(s), М(s+Ds) - точки кривой g, и - касательные векторы к кривой g в этих точках. j(s, Ds) - угол между этими векторами. Кривизной k (s) кривой g в точке М(s) называется

1) предел (если он существует) отношения при Ds ®0

2) отношение

3) предел (если он существует) отношения при Ds ®0

4) предел отношения при Ds ®0

5) другой ответ

А 6. Укажите верные равенства, если k (s) - кривизна кривой, - естественная параметризация кривой, - нормальный вектор, - касательный вектор

1) к(s)= 2) к(s)= 3)

4) 5)

А 7. Плоскость, заданная точкой М₀ и векторами , , называется

1) нормальной плоскостью кривой g в точке М₀

2) спрямляющей плоскостью кривой g в точке М₀

3) касательной плоскостью кривой g в точке М₀

4) соприкасающейся плоскостью кривой g в точке М₀

А 8. Прямая, заданная точкой М₀ и вектором , называется

1) нормалью к кривой g в точке М₀

2) касательной к кривой g в точке М₀

3) бинормалью к кривой g в точке М₀

4) другое название

А 9. Чтобы существовало кручение кривой g, достаточно следующего условия

1) число в каждой точке кривой g существует,

где = ± (,^Ù ), - бинормальный вектор

2) g - к-регулярная кривая

3) g - к -регулярная кривая заданна естественной параметризацией , s Î(0,S), к³3

4) g - к -регулярная кривая в каждой своей точке имеет кривизну k(s) 0

5) другой ответ

А 10. Найти координатные линии поверхности, заданной функцией

где (u;v)ÎR²

1) g_u: g_v: 2) g_u: g_v:

3) g_u: g_v: 4) g_u: g_v:

5) другой ответ.

А 11. Первой квадратичной формой поверхности, заданной гладкой параметризацией = (u, v) называется

1) полный квадрат первой производной вектор-функции (u, v)

2) I = , где Е = ², F = , G = ²

3) I = , где Е = ², F = , G = ²

4) квадрат полного дифференциала вектор-функции (u, v)

5) другой ответ

А 12. Второй квадратичной формой поверхности F называется

1) II =

2) скалярное произведение II =(), где - нормаль к поверхности F

3) II =

4) скалярное произведение II = (), где - нормаль к поверхности F, а - второй дифференциал вектор-функции

5) другой ответ

А 13. Укажите коэффициент L второй квадратичной формы поверхности

1) 2) 3) 4) 5) другой ответ

В1. Записать в естественной параметризации уравнение кривой

g: tÎ R.

В2. Найти вектор репера Френе кривой g: в точке, соответствующей параметру t = 0

В3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением xyz = 1, параллельной плоскости x + y + z = 1

В4. Найти первую квадратичную форму поверхности

№ A

Номера заданий

Отв.

2,5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. –672 с.

2. Аминов Ю.А. Свойства в целом кривых в трехмерном евклидовом пространстве, связанные с кручением // Укр. геом. сб. – 1973. – Вып. 14. – С. 3 – 10.

3. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. – М.: Наука, 1987. –160 с.

4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2. – М.: Просвещение, 1987. – 351 с.

5. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1980. – 112 с.

6. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие. – М., 2003.

7. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2005.

8. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциаль-

ной геометрии. – М.: Просвещение, 1985. – 113 с.

9. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия.Ч.2. – СПб., 1997.

10. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981. – 352 с.

11. Дубровин Б.А.,Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. – М.: Наука, 1986. – 759 с.

12. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М., 2004. – 464 с.

13. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учебник для вузов. –.М.: Физматлит, 2003. – 584 с.

14. Жаферов А.Ф. Геометрия: В 2 ч. Ч.1. – Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2002. – 271 с.

15. Жаферов А.Ф. Геометрия: В 2 ч. Ч.2. – Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2003. – 267 с.

16. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов. – М.: Наука, 1987. – 432 с.

17. Кон-Фоссен С. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. – М.: Физматгиз, 1959.

18. Кобояси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 т.– М.: Наука,1981. Т.1– 344 с.; Т.2 – 314 с.

19. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977. – 488 с.

20. Розендорн Э.Р. Задачи по дифференциальной геометрии. – М.: Наука, 1978. – 64 с.

21. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.: Наука, 1971.–48 с.

22. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. – М.: Наука,1983. – 358 с.

24. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983. – 288 с.

25. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука,1969. – 176 с.

26. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. – М.: МГУ, 1990. –384 с.

27. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. – 3. – М.: Наука,1970. – 352 с.

28. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. –Новокузнецк: НФМИ, 2000.

29. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. – 216 с.