Задачи оптимизации

Рассмотрим функцию n переменных . Аргумент функции F (x) может принимать значения из множества . Функция F (x) называется целевой функцией, X - допустимым множеством (ОДР-область допустимых решений ), – допустимой точкой (вектором ), – оптимизируемыми переменными.

Задачи, в которых требуется найти все точки глобального минимума (максимума) либо показать, что их не существует, записываются в виде

(1)

(2)

задача нахождения и точек глобального максимума, и точек глобального минимума:

. (3)

Задачи 1–3 называются задачами математического программирования (ЗМП).

Решения задач 1 и 2 называются оптимальными решениями и обозначаются соответственно

, ,

причем запись часто опускается. Числа , являются наименьшим и наибольшим значением целевой функции на допустимом множестве Х и обозначаются , .

ЗМП решена, если

1) найдено ее решение, либо

2) показано, что решения не существует.

Возможны следующие случаи отсутствия решения ЗМП:

a) Æ (ОДР пуста),

b) неограничена на X (сверху ¾ для задачи снизу ¾ для задачи ),

c) точная верхняя (для задачи ) или нижняя (для задачи ) грань множества значений , не достигается на X. Например: не существует наименьшего .

Математическая теория дает признаки только локального экстремума, в основном все методы нацелены на отыскание локального экстремума.