Производная степенно-показательного выражения с демонстрацией на конкретных примерах

2) y=U(x)^V(x)

z=lny

z’=1/y *y’

y’=y*z’

y’=y(lny)’

3) y=U(x)^V(x)

8*. Первый дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.

Если y=f(x) опреелена на X и непрерывна в токе x_o∈X,

∆у= f(x_o +∆x) – f(x_o), x_o +∆x∈ X

Если приращение ф-ии может быть представлено так: ∆y= A∆x+0(∆x), где A- некоторое число, независящее от ∆x, то ф-я f(x) называется дифференцированной в точке x₀? А линейная часть этого выражения A∆x наз. Дифференциалом ф-ии в точке х₀ и обозначается dy или df(x).

Для того, чтобы функция была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтоб для нее в данной точке существовала конечная производная.

Геометрически дифференциал функции- это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) данной точки, когда x_o получает приращение ∆x.

Инвариантность(неизменность):

y=f(x) 1) пусть x- независимая переменная dy=f'(x)dx=y’dy

2)пусть x-зависимая переменная, x=φ(t) y=f(φ(t))

dy= y’_tdt= y’_x*x’_tdt=y’_xdx

так dy= y’_xdx

dx= x’_tdt

Форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой.