Формула Тейлора для многочлена и произвольной ф-ии

Формула Тейлора для многочлена:

Теорема Тейлора. Пусть ф-я у=f(x) определена в некоторой точке х=а и в некоторой окрестности этой точки ф-я имеет производные до (n+1)-го порядка, тогда сущ-ет х=ξ, такая, что выполняется формула Тейлора:

,

Причем точка ξ лежит между х и а, т.е. ξ=а+α(х-а) и 0<α<1.

Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом в форме Лагранжа и обозначается .

Сущ-ет так же остаточный член в форме Пеано, который обозначается: .

При а=0 формула Тейлора называется формулой Маклорена:

Пример.