Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница (с демонстрацией на примерах)

Производная функцией f(x) по независимой переменной x в точке x_o - предел отношения преращения ф-ии ∆f(x_o) к приращению аргумента ∆x при ∆x→0? Если этот предел существует.

F’(x_o) =

Производной 2ого порядка ф-ии y=f(x) называется производная от ее производной:

Такой предел. Если он существует, называют 2ой производной.

Производная n-ного порядка- производная от производной (n-1)-го порядка: y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’

Производные высоких порядков начисляются последовательным дифференцированием ф-ии.

Если ф-я y=f(x)имеет конечную производную f’(x)в т. X, то полное приращение ф-ии ∆y=f(x+∆x)-f(x)= f’(x) ∆x+𝜶(∆x)∆x, где 𝜶(∆x)-бесконечно малая ф-я при ∆x→0, те

Главная, линейная относительно ∆x, часть полного приращения ф-ии называется дифференциалом ф-ии= dy.

Следовательно, по определению dy=f'(x)∆x. Если f(x)=x, то dx= ∆x, поэтому dy=f’(x)dx.

Дифференциалом 2ого порядка называют d(dy)=d²y=y’’(dx)².

Дифференциалом n-ого порядка dⁿy=d(d^n-1y)=y⁽ⁿ⁾(dx)ⁿ. Отсюда:

y⁽ⁿ⁾⁼

Формула Лейбница:

(UV)(n)=

Пр. x=U U’=1 U’’=U’’’=0

e^x=V V’=V’’=V’’’= e^x

f’’’(x)= = + + = + =3* e^x+ e^x= 4e^x