Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Дано дифференциальное уравнение второго порядка

(25)

Рассмотрим два частных случая, когда интегрирование уравнения (25) может быть сведено к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка.

1. Уравнение (25) не содержит в явном виде неизвестную функцию, т.е. имеет вид

(26)

Введем новую неизвестную функцию , положив . Тогда и уравнение (26) принимает вид

Предположим, что нам удалось найти общее решение этого уравнения .

Сделав обратную замену, получим Проинтегрировав последнее равенство, найдем общее решение уравнения (26):

Пример. Решить уравнение (27)

Решение:

Пусть , тогда и после замены уравнение (27) примет вид Получили уравнение с разделяющимися переменными, которое решается стандартным методом:

После обратной замены получаем: , – общее решение уравнения (27).

2. Уравнение (25) не содержит в явном виде неизвестную переменную, т.е. имеет вид

(28)

Введем новую неизвестную функцию , положив . Продифференцируем это равенство , используя правило дифференцирования сложной функции:

После замены уравнение (28) примет вид Получили уравнение первого порядка. Общее решение этого уравнения будет иметь вид . Возвращаясь к функции y, получим или .