Основные типы дифференциальных уравнений

Определение. Уравнение вида

(7)

связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производные называют дифференциальным уравнением n -го порядка.

Определение. Уравнение вида

(8)

связывающее независимую переменную , неизвестную функцию и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (2) в области называют функцию , где с – произвольная постоянная, удовлетворяющая следующим условиям:

1) для каждого числа с функция является решением уравнения (2);

2) если , то существует такое число , что решение удовлетворяет начальному условию .

Если общее решение получено в неявном виде , то называют общим интегралом, а – частным интегралом уравнения (8).

Если дифференциальное уравнение (8) можно разрешить относительно , то оно примет вид:

(9)

Дифференциальное уравнение (9) называют разрешенным относительно производной .

Уравнение (9) записывают иногда в виде:

,

, (10)

где – функции двух переменных.

Теорема Коши. (Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (9)). Если в уравнении (9) функция и ее частная производная по определены и непрерывны в области плоскости (XOY) и – произвольная точка из , то существует, причем единственное, решение этого уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Задачу нахождения решения уравнения (9) с заданным начальным условием называют задачей Коши.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (9) называют любую функцию , которая получается из общего решения, если произвольной постоянной придать определенное значение .

Определение. Дифференциальное уравнение I порядка называют уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

(11)

или

или , (12)

где – заданные функции.

Для решения уравнения (11) разделим переменные:

Или разделим обе части (12) на :

, (13)

откуда

Определение. Уравнение или (13) называют уравнением с разделенными переменными.

Определение. Функция называется однородной функцией нулевого измерения, если она зависит только от отношения , т.е. .

Определение. Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида (14)

Введем новую неизвестную функцию, положив , или . Дифференцируя, получим .

Подставим в уравнение (14), преобразуем его к виду . Разделяя переменные и интегрируя, найдем

или

Отсюда .

После выполнения интегрирования нужно вернуться к функции , положив .

Пример. Решить уравнение .

Выражая производную, получим или .

Положим . Тогда , . Подставив в уравнение, получаем . Откуда .

Разделим переменные .

После интегрирования находим

или .

Окончательно .

Определение. Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

(15)

Введем две новые неизвестные функции и , положив . Поскольку неизвестных функций стало две, а условий на эти функции только одно (их произведение должно удовлетворять уравнению (15)), то еще одно условие на эти функции мы можем наложить произвольно, чем мы и воспользуемся ниже.

Подставим в (15),

получим

или (16)

В качестве функции выберем любую функцию, удовлетворяющую условию . (17)

Получим уравнение с разделяющимися переменными для нахождения . Проинтегрируем это уравнение, полагая постоянную интегрирования равной нулю (последнее законно, так как нас устраивает любое решение уравнения (17)):

,

,

,

.

Подставим найденное значение в уравнение (16):

,

откуда

.

Интегрируя, найдем функцию : . Перемножив найденные функции и , получим общее решение уравнения (15).

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

,

где m – любое действительное число. Решается это уравнение с помощью того же приема, что и линейное уравнение.

Определение. Уравнение

(18)

называется уравнением полного дифференциала, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции . В этом случае уравнение (18) можно переписать в виде . Общий интеграл уравнения (18) будет

. (19)

Теорема. Пусть функции имеют непрерывные частные производные в некоторой области (D) плоскости (XOY). Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области (D) выполнялось равенство

. (20)

Пусть дано уравнение (18), для которого выполняется условие (20). Последнее означает, что существует функция такая, что

(21)

Чтобы решить уравнение (18), нужно, исходя из равенств (21), найти функцию и записать общий интеграл уравнения (18) в форме (19).

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Имеем: , .

Найдем и :

Таким образом, , т.е. существует такая функция , что

(22)

Для нахождения проинтегрируем по x первое из равенств (22):

(23)

Здесь неизвестная функция играет роль постоянной интегрирования. Для нахождения продифференцируем (23) по y:

С другой стороны, из (22) имеем Из этих двух равенств получаем или .

Отсюда . (24)

Подставляя в (24), получаем, согласно (19), общий интеграл данного уравнения в виде .

Замечание. Так как, согласно (19), функция приравнивается произвольной постоянной, то при выполнении интегрирования (24) постоянную интегрирования можно не писать.