2015-05-13
393
Определение. Уравнение
(36)
называют линейным диффернциальным уравнением со специальной правой частью, если
, (37)
где 
, 
– многочлены степеней n и m соответственно, 
и 
– действительные числа.
Будем искать частное решение уравнения (36) в виде:
, (38)
где 
и 
многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, 
, а показатель степени r – число корней характеристического уравнения равных 
.
Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (36) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения 
и какого-либо частного решения данного неоднородного уравнения 
, т.е.
(39)
Пример. Найти общее решение уравнения 
Решение.
1. Найдем 
. Характеристическое уравнение: 
(по формуле 33) 
.
2. Найдем 
.
Имеем 
,
т.е. 
– корень первой кратности характеристического уравнения (т.е. r = 1, т.к. 
). Находим 
, следовательно, по (38) 
. Найдем А, В. 
Подставим 
в уравнение .
Получим 
Следовательно, 
Ответ: 
, 
.
