Двойной интеграл. Вычисление двойных интегралов в декартовых прямоугольных координатах

Пусть функция определена в ограниченной замкнутой области (S) плоскости (XOY).

Интегральной суммой называется сумма вида ,

тогда ,

где , , …, – площади частичных областей,

– диаметр ,

точка элементарной области.

В декартовых координатах двойной интеграл записывают в виде .

Различают два основных вида области интегрирования.

1) Область интегрирования (S) ограничена слева и справа прямыми и , а снизу и сверху – непрерывными кривыми и , каждая из которой пересекается прямой, параллельной оси , только в одной точке (рис. 7).

y=y2(x)

y

x

a

b

y вых

y вх

y=y1(x)

Рис. 7.

Для данной области двойной интеграл вычисляется по формуле:

, (40)

причем сначала вычисляется интеграл , где .

2) Область интегрирования (S) ограничена снизу и сверху прямыми и , а слева и справа – непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси , только в одной точке (рис. 8).

x=x2(y)

y

x

c

d

x вых

x вх

x=x1(y)

Рис. 8.

Для данной области двойной интеграл вычисляется по формуле:

, (41)

причем сначала вычисляется интеграл , в котором переменная .