2015-05-13
636
Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
, (30)
где 
– постоянные.
Для решения этого уравнения нужно предварительно составить характеристическое уравнение 
которое получается формально из уравнения (30) заменой производных неизвестной функции на соответствующие степени 
, и найти корни характеристического уравнения 
. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
(31)
Для нахождения общего решения уравнения (31) достаточно знать два линейно независимых частных решения. Для этого составим характеристическое уравнение:
(32)
Решим уравнение (32), т.е. найдем 
.
Возможны случаи:
а) корни характеристичекого уравнения (32) действительные и различные 
.
Общее решение уравнения (31) имеет вид:
, (33)
б) корни характеристического уравнения действительные равные 
.
Общее решение уравнения (31) имеет вид:
, (34)
в) корни характеристического уравнения комплексно сопряженные 
.
Общее решение уравнения (31) имеет вид:
, (35)
Примеры. Найти общие решения уравнения:
1. 
Решение. Составим характеристическое уравнение 
, его корни 
. Следовательно, общее решение данного уравнения будет иметь вид: 
(по формуле 33).
2. 
Решение. Характеристическое уравнение: 
. Это уравнение имеет два равных корня 
, т.е. –2 – корень второй кратности. Общее решение будет иметь вид: 
(по формуле 34).
3. 
Решение. Характеристическое уравнение: 
. Корнями этого уравнения будут 
и 
. Общее решение запишется в виде: 
(по формуле 35).
4. 
Решение. Характеристическое уравнение: 
или 
. Находим корни: 
, 
, т.е. характеристическое уравнение имеет пару комплексных сопряженных корней 
второй кратности. Общее решение будет иметь вид: 
.
