Нормальное распределение

Закон нормального распределения должен быть изучен наиболее основательно, т.к. он часть используется в теории и практике.

Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей выражается формулой:

(67)

Параметры и имеют следующий вероятностный смысл:

;

Если функция Лапласа задается формулой , то для нормально распределенной случайной величины (68)

(69)

Если функция Лапласа задается формулой , то и

Глава 7. Пример решения варианта контрольной работы.

Задача 1. Вычислить .

Решение: Преобразуем числитель дроби по формуле (6):

Числа и представим в тригонометрической форме:

Тогда по формуле (4):

Ответ: .

Задача 2. Решить уравнение .

Решение: Пусть , тогда .

Подставив в уравнение, получим

или

(70)

1. Пусть

2. Возвращаясь к (70), получаем:

Вычислим

Имеем

3. Поскольку , то получаем общее решение или .

Ответ: .

Задача 3. Найти общее решение уравнения .

Решение: 1. Корнями характеристического уравнения будут , следовательно, – общее решение соответствующего однородного уравнения.

2. Так как в правой части уравнения или , , , , то

Найдем и . Для этого вычислим

;

Подставив значения в исходное уравнение, получим тождество

или .

Приравнивая коэффициенты при и , имеем

Решая систему, получим , .

Частное решение неоднородного уравнения .

3. Общее решение ,

Ответ: .

Задача 4. Написать уравнения кривых, ограничивающих области интегрирования, построить эти области, изменить порядок интегрирования .

Решение:

а) Найдем уравнение линий, ограничивающих область интегрирования . Для этого приравняем к пределы изменения интеграла по переменной и к пределы изменения интеграла по переменной .

б) Построим область (рис. 15)

Рис. 15

в) Запишем двукратный интеграл с постоянными пределами по и переменными – по . Проведем сечение . Прямые входят в область на линии (получили из уравнения ) и выходят на линии (получили из уравнения ).

Имеем .

Ответ: .

Задача 5. Вычислить площадь фигуры. ( задана системой неравенств):

Решение:

а) Построим область (рис. 16)

Уравнения и приведем к каноническому виду:

Последнее уравнение задает окружность с центром в т. и радиуса .

Рис. 16

б) Перейдем к полярным координатам: . Подставим , , тогда получим:

Аналогично,

в) Найдем площадь по формуле (47)

Ответ: .

Задача 6. Вычислить , где

Решение:

а) Построим область интегрирования (рис. 17).

Уравнение определяет параболоид вращения. Уравнение определяет плоскость.

Рис. 17

б) Вычислим тройной интеграл в цилиндрических координатах (по формуле 45), полагая

В таком случае

Ответ: .

Задача 7. Найти массу дуги кривой , если плотность: .

Решение:

а) Используем формулу (48): .

Найдем

б) Вычислим криволинейный интеграл I рода. Для этого перейдем к определенному интегралу по переменной , причем .

Ответ: .

Задача 8. Вычислить , где .

Решение:

а) Построим окружность (рис. 18)

Рис. 18

б) Запишем уравнение в параметрическом виде:

, т.к. и

в) Вычислим криволинейный интеграл II-го рода по формуле (49):

Ответ: .

Задача 9. Найти область сходимости ряда .

Решение:

1. Составим ряд из модулей членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера

2. При ряд из модулей (а, значит, и исходный) сходится, т.е. надо решить неравенство: .

сходится

расходится

3. Исследуем исходный ряд на сходимость в точках и .

При имеем – ряд знакочередующийся.

Исследуем ряд по признаку Лейбница:

Точка входит в область сходимости.

При имеем – знакоположительный ряд. Применим к нему признак сравнения (эквивалентности).

Так как ряд – гармонический , то он сходится, а значит, и ряд тоже сходится, т.е. точка в область сходимости входит.

Ответ: Область сходимости: .

Задача 10. Разложить функцию в ряд Фурье по

Решение:

1. Строим график на заданном промежутке , затем продолжаем функцию графически на четным образом, т.е. симметрично относительно оси , получим промежуток длиной в период, т.е. (рис. 19). Достраиваем график на всю ось с периодом .

-2

-4

-2

Рис. 19

T=8

2. Проверим условия теоремы Дирихле на

а) кусочно-непрерывна;

б) кусочно-монотонна

3. Так как функция четная, то и

(см. формулы 50), где

Таким образом, .

4. Найдем по теореме Дирихле:

-2

-4

-6

-8

-10

0,5

-14

-2

Рис. 20

Построим график

Задача 11. Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке поля градиента скалярного поля .

Решение:

1. Найдем по формуле (52):

Таким образом, .

2. Найдем расходимость (дивергенцию) поля градиента скалярного поля в произвольной точке .

Применим формулу (54):

Т.к. , где .

Найдем

Имеем , т.е.

3. Найдем вихрь в произвольной точке поля градиента скалярного поля по формуле (57):

Таким образом, .

Ответ: ; .

Задача 12. Дано векторное поле , плоскость : , которая свместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Найти:

1) поток через , где , – острый;

2) поток через полную поверхность в направлении внешней нормали к ее поверхности ( – острый);

3) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , ограничивающий с нормалью непосредственно;

4) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , ограничивающий с нормалью по формуле Стокса.

Решение:

1) Найдем направляющие косинусы нормали к поверхности .

Рис. 21

По формуле (53) найдем

Ответ: .

2) Для нахождения потока через полную поверхность воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса (55): .

Найдем по формуле (54):

(источник поля).

(Из области вытекает жидкости больше, чем в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источников, питающих поток жидкости).

Ответ: .

3) Вычислим циркуляцию по контуру по формуле (56):

Так как

Таким образом, .

Ответ: .

4) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса (58):

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задача 13. В компании 10 акционеров, из них три имеют привелигированные акции. На собрании акционеров явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров:

а) все трое акционеров с привелигированными акциями отсутствуют;

б) двое присутствуют, и один не явился.

Решение:

а) испытанием является отбор 6 человек из 10 акционеров. Число всех исходов испытания равно числу сочетаний из 10 по 6 (см. формулу 5 в приложении I). .

Пусть событие – среди шести человек нет ни одного с привелигированными акциями. Исход, благоприятствующий событию – отбор шести человек среди семи акционеров, не имеющих привелигированных акций. Число всех исходов, благоприятствующих событию , будет . Искомая вероятность по формуле (59) равна

б) Пусть событий – среди шести явившихся акционеров двое с привелигированными акциями, а остальные четыре – с общими акциями.

Число всех исходов .

Число способов выбора двух человек из необходимых трех . Число способов выбора оставшихся четырех акционеров среди семи с общими акциями . Тогда число способов отбора по правилу произведения .

Искомая вероятность по формуле (59) равна .

Задача 14. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата бракованных, со второго – , с третьего – , с четвертого – . Производительности их относятся как соответственно. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на четвертом автомате.

Решение:

Обозначим через событие – . Гипотезами являются ,

Вероятность того, что стандартную деталь обработали на четвертом автомате, определим по формуле Байеса (61):

, .

Т.к. производительности автоматов относятся как , то вероятность гипотез такова: ; ; ; . По условию задачи известны вероятности брака для соответствующего автомата, а нас интересуют вероятности противоположных событий. Поэтому

Искомая вероятность равна

До испытания вероятность гипотезы была , а после того, как произошло событие , вероятность этой гипотезы изменилась и стала равной .

Задача 15. В случаях а, б и в рассматривается серия из независимых итспытаний с двумя исходами в каждом – «успех» или «неуспех». Вероятность «успеха» равна , «неуспеха» – в каждом испытании.

– число «успехов» в испытаниях. Требуется:

1) для случая а (малого ) построить ряд распределения, функцию распределения , найти , и .

2) для случая б (большого и малого ) найти приближенно с помощью распределения Пуассона.

3) для случая в (большого ) найти вероятность приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

а) , ;

б) , ;

в) , , , .

Решение:

а)


	0,522	0,3685	0,0975	0,0115	0,0005

Найдем по формуле Бернулли (62):

Найдем по формуле (65):

; или ; .

по формуле (66):

Найдем функцию распределения и построим график.

Построим график этой функции.

б) , , (по формуле (63))

в) , ,

Найдем по формуле (64).

Имеем .

Ответ: а) ; ; ;

б) ;

в) .

Задача 16. Случайная величина задана плотностью распределения:

Требуется:

а) Найти коэффициент ;

б) Найти функцию распределения ; построить графики и ;

в) найти математическое ожидание , дисперсию и квадратическое отклонение .

Решение:

а) Плотность распределения должна удовлетворять условиям: , .

Так как , то .

Таким образом,

б) Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой .

При , , то .

При ,

При , .

Итак,

Построим графики и .

в) Для непрерывной случайной величины ,

Для непрерывной случайной величины

Имеем

Тогда

Ответ: а) ;

б)

в) ; ;

Задача 17. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали равна , среднее квадратическое отклонение . Требуется: