2015-05-13
2203
В разделе «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» рассматривалась задача: по заданной функции найти ее производную. В данном разделе – «Интегральное исчисление функций одной переменной» решается обратная задача: известна производная функции 
, а нужно найти саму функцию . Например, с механической точки зрения это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения, т.е. зависимость пройденного пути от времени.
Во многих областях науки и техники приходится решать задачу восстановления функции по известной ее производной.
Функция 
называется первообразной функцией для функции на интервале 
, если она дифференцируема на и 
.
Например, для функции 
первообразной является функция 
на 
, поскольку 
. Заметим, что первообразной для на является также любая из функций 
, где 
– любое число.
► Запишите первообразные для функций
.
Справедливо следующее утверждение: если – первообразная для функции на , то 
, где – произвольная постоянная, также первообразная для на . Более того, любая другая первообразная имеет такой же вид.
Совокупность всех первообразных для функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом 
. Таким образом,
если .
При этом функция называется подынтегральной функцией, 
называется подынтегральным выражением.
Рис. 2.1.
Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции . Если функция непрерывна на , то для нее существует первообразная на , а, следовательно, неопределенный интеграл, т.е. функция интегрируема на .
► Запишите определение первообразной и неопределенного интеграла.
► Всякая ли функция интегрируема на интервале ?
Укажем ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.
1. 
.
2. 
.
3. 
или 
.
4. 
, 
- постоянная величина.
5. 
.
6. Если 
, то
.
► Запишите словесные формулировки свойств 1-5 неопределенного интеграла.
Непосредственно из определения неопределенного интеграла и таблицы производных, приведенной в разделе «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», вытекает таблица интегралов (справедливость написанных в ней равенств легко проверить применением первого свойства неопределенного интеграла):
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
| 11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16 
17. 
18. 
19. 
20. 
21 
22. 
|
► Найти неопределенные интегралы:
1. 
, 2. 
, 3. 
, 4. 
, 5. 
.
Отметим три основных метода нахождения неопределенного интеграла:
1) непосредственное интегрирование;
2) метод замены переменной (метод подстановки);
3) метод интегрирования по частям.
Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование – это нахождение неопределенного интеграла путем использования его основных свойств и таблицы интегралов.
Пример 2.1. Найти неопределенные интегралы и проверить правильность полученных результатов.
1. 
; 2. 
.
Решение. Для нахождения заданных интегралов используем свойство 5), а затем 4) неопределенных интегралов: неопределенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций и постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
1) 
2) 
Проверка. В соответствии со свойством 1) неопределенного интеграла производная от полученного результата должна совпадать с подинтегральной функцией.
1) 
2) 
В обоих случаях результат дифференцирования совпадает с подынтегральной функцией, следовательно, интегралы найдены верно.
▶ Найти неопределенные интегралы. Проверить правильность полученных результатов.
а) 
, б) 
,
в) 
.
Ответ: 
