Решение

Следовательно, .

Правильные рациональные дроби вида

І. ,

ІІ. ,

ІІІ. ,

IV. , ,

где – действительные числа, - натуральное число, а трехчлен имеет комплексные корни , называются простейшими дробями І, ІІ, ІІІ и IV типов.

Справедливо следующее утверждение: правильная несократимая рациональная дробь , знаменатель которой

, может быть единственным образом разложена в сумму простейших дробей.

где (с соответствующими индексами) – некоторые постоянные.

Указанные постоянные могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов одним из трех способов:

1) способ сравнения коэффициентов при одинаковых степенях ;

2) способ подстановки частных значений ;

3) комбинированный способ.

► Напишите разложение правильной несократимой дроби на простейшие, не вычисляя коэффициентов.

Пример 1.8. Представить в виде суммы простейших дробей дробно-рациональную функцию .

Решение. Заданная дробь правильная и несократимая, поскольку , . Ее разложение в сумму простейших дробей имеет вид:

,

где – неопределенные коэффициенты.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

.

Поскольку дроби равны и имеют одинаковые знаменатели, то должны быть равны их числители:

. (1.6)

Воспользуемся сначала способом подстановки частных значений . Наиболее удобно брать значения корней знаменателя.

.

Поскольку других корней нет, то используем способ приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства (1.6).

Для этого равенство (1.6) запишем в виде

или

. (1.7)

Приравнивая коэффициенты при в равенстве (1.8), получаем

Учитывая полученные результаты, можем записать:

.