Интегрирование по частям

Пусть и непрерывно дифференцируемые функции от . Тогда

Напомним: если , то дифференциал ; поэтому ; .

Тогда и .

Учитывая, что , получаем:

. (2.1)

Поскольку в равенстве (2.1 справа стоит неопределенный интеграл, который также содержит произвольную постоянную, то постоянную обычно опускают, и формулу интегрирования по частям записывают в виде

. (2.2)

Эта формула применяется чаще всего к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и , чтобы нахождение функции по ее дифференциалу по формуле и вычисление составили в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление .

Укажем некоторые типы интегралов, которые находятся интегрированием по частям.

І. ; ; .

Здесь полагают , а остальное включают в , т.е. или или .

ІІ. ; ; .

Здесь полагают , а остальное включают в , т.е. или или .

ІІІ. ; .

Здесь не имеет значения, что принимать за , а что включать в .

В приведенных интегралах многочлен степени , т.е.

► Запишите формулу интегрирования по частям.

► Приведите примеры интегралов, которые относятся к І, ІІ, и ІІІ типу и укажите, что в них следует принять в качестве , а что включить в .

Пример 2.2. Найти неопределенные интегралы.

а) ; b) .

Решение:

а) интеграл относится к типу І, .

Замечание: при определении функции по ее дифференциалу по свойству 2 неопределенного интеграла следует добавлять постоянную , но т.к. в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенстве (2.2) вместо выражение ), то удобно считать произвольную постоянную равной нулю;